Calcule o momento de inércia de um anel de raio
e massa
, em relação a um eixo que:
b) passa por um diâmetro qualquer.
b) passa por um diâmetro qualquer.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia! A gente tem um anel com raio
e massa
, e precisamos calcular o momento de inércia dele em relação a um eixo que passa por um diâmetro qualquer. Vamos usar conceitos de física clássica, especificamente sobre momentos de inércia de corpos rígidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais a massa estiver afastada do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral é:
Onde
são as massas individuais e
são as distâncias delas ao eixo.
Passo 3
No caso do anel, toda a massa está distribuída a uma distância fixa
do centro. Se estivermos girando o anel em torno de um eixo que passa pelo diâmetro, estamos essencialmente rotacionando-o em torno de um de seus próprios diâmetros.
Passo 4
Para esse tipo de rotação, podemos usar o teorema dos eixos paralelos (teorema de Huygens-Steiner). Esse teorema nos diz que:
Onde
é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro e perpendicular ao plano do anel,
é a massa total e
é a distância entre os dois eixos.
Passo 5
Para o anel, sabemos que o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano é:
E como estamos rotacionando em torno de um diâmetro, a distância
entre os eixos é zero, já que o novo eixo passa pelo centro do anel. Assim, a fórmula do teorema fica:
Passo 6
Entretanto, para um anel, quando calculamos o momento de inércia em torno de um eixo no diâmetro, na verdade usamos a relação que vem do teorema dos eixos perpendiculares. Sabemos que para um plano,
. Aqui,
e
. Então:
Resposta
O momento de inércia do anel em relação a um eixo que passa por um diâmetro é: