Calcule o momento de inércia de um anel de raio R e massa M, em relação a um eixo que:
b) passa por um diâmetro qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia! A gente tem um anel com raio R e massa M, e precisamos calcular o momento de inércia dele em relação a um eixo que passa por um diâmetro qualquer. Vamos usar conceitos de física clássica, especificamente sobre momentos de inércia de corpos rígidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais a massa estiver afastada do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral é:
I = sum mi ri^2
Onde mi são as massas individuais e ri são as distâncias delas ao eixo.

Passo 3

No caso do anel, toda a massa está distribuída a uma distância fixa R do centro. Se estivermos girando o anel em torno de um eixo que passa pelo diâmetro, estamos essencialmente rotacionando-o em torno de um de seus próprios diâmetros.

Passo 4

Para esse tipo de rotação, podemos usar o teorema dos eixos paralelos (teorema de Huygens-Steiner). Esse teorema nos diz que:
I = Icentro + M d^2
Onde Icentro é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro e perpendicular ao plano do anel, M é a massa total e d é a distância entre os dois eixos.

Passo 5

Para o anel, sabemos que o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano é:
Icentro = M R^2
E como estamos rotacionando em torno de um diâmetro, a distância d entre os eixos é zero, já que o novo eixo passa pelo centro do anel. Assim, a fórmula do teorema fica:
I = M R^2 + M times 0^2 = M R^2

Passo 6

Entretanto, para um anel, quando calculamos o momento de inércia em torno de um eixo no diâmetro, na verdade usamos a relação que vem do teorema dos eixos perpendiculares. Sabemos que para um plano, Iz = Ix + Iy. Aqui, Iz = M R^2 e Ix = Iy. Então:
M R^2 = 2 Ix Ix = M R^22

Resposta

O momento de inércia do anel em relação a um eixo que passa por um diâmetro é:
I = M R^22

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