Uma vareta pesada de massa M e comprimento L, pode girar sem atrito em torno de um eixo fixo horizontal que passa pelo ponto A (perpendicular à vareta). Inicialmente a vareta está em repouso, verticalmente. Uma bala de massa m=M / 10 passa através da vareta, num intervalo de tempo curtíssimo, na sua extremidade inferior (ponto de impacto a distância L de A). Antes da colisão a velocidade da bala é ve após é v/2.
( 1 , 0 p t ) Determine que velocidade v deve ocorrer para que a vareta alcance 90^circ a partir da sua posição inicial de equilíbrio?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos uma vareta pesada com massa M e comprimento L que pode girar sem atrito em torno de um eixo fixo horizontal no ponto A. Inicialmente, a vareta está parada na posição vertical. Uma bala com massa m = M/10 passa pela vareta no seu ponto mais baixo (a uma distância L de A). Antes da colisão, a bala tem velocidade v e, depois de passar pela vareta, sua velocidade cai para v/2. A pergunta é: qual deve ser a velocidade v da bala para que a vareta consiga girar até 90 graus da posição vertical inicial?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momentum angular e energia rotacional. Vamos dividir a resolução em passos para ficar mais tranquilo de entender.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece durante a colisão da bala com a vareta. Como a colisão acontece em um instante muito curtíssimo, podemos usar a conservação do momentum angular para encontrar a velocidade angular da vareta imediatamente após a bala passar por ela.
Momentum Angular Antes da Colisão:
A vareta está em repouso, então o momentum angular dela é zero. A bala, que está se movendo com velocidade v, tem um momentum angular em relação ao ponto de rotação A. O momentum angular (L) é dado por:
L = r times p
Onde:
  • r é a distância do ponto de rotação até o ponto de impacto (no nosso caso, L).
  • p é o momentum linear da bala (massa vezes velocidade), ou seja, m * v.
Então, o momentum angular total antes da colisão é:
Lantes = L times m times v
Momentum Angular Depois da Colisão:
Após a colisão, a bala está se movendo com velocidade v/2, então o momentum angular dela é:
Lbala, depois = L times m times v2
A vareta agora está girando com velocidade angular ω, e seu momentum angular é dado por:
Lvareta = I times omega
Onde I é o momento de inércia da vareta em relação ao ponto A. Para uma vareta fina girando em torno de uma extremidade, o momento de inércia é:
I = 13 M L^2
Conservação do Momentum Angular:
A quantidade total de momentum angular antes da colisão deve ser igual à quantidade após a colisão:
Lantes = Lbala, depois + Lvareta
Substituindo:
L times m times v = L times m times v2 + 13 M L^2 omega

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade angular ω da vareta após a colisão.
Primeiro, simplificamos a equação:
L times m times v - L times m times v2 = 13 M L^2 omega
L times m times v2 = 13 M L^2 omega
Agora, isolamos ω:
omega = 3 times L times m times v2M L^2
Simplificando:
omega = 3 m v2 M L
Sabemos que m = M/10, então substituindo:
omega = 3 times M10 times v2 M L
omega = 3 v20 L
Então, a velocidade angular da vareta após a colisão é:
omega = 3 v20 L

Passo 4

Agora que temos a velocidade angular inicial da vareta após a colisão, vamos determinar a energia rotacional que a vareta tem nesse instante.
A energia cinética rotacional (E_rot) é dada por:
Erot = 12 I omega^2
Substituindo I e ω:
Erot = 12 times 13 M L^2 times ( 3 v20 L )^2
Simplificando:
Erot = 16 M L^2 times 9 v^2400 L^2
Erot = 9 M v^22400
Erot = 3 M v^2800

Passo 5

Para que a vareta alcance 90 graus a partir da posição inicial, toda essa energia rotacional E_rot precisa ser convertida em energia potencial gravitacional (E_pot) no ponto mais alto do movimento.
A energia potencial gravitacional é dada por:
Epot = M g h
Onde:
  • g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).
  • h é a altura que o centro de massa da vareta sobe.
No caso de uma vareta girando 90 graus, o centro de massa sobe uma distância de L/2 (já que o centro de massa de uma vareta uniforme está no meio do comprimento).
Então:
Epot = M g times L2
Igualamos a energia rotacional à energia potencial:
3 M v^2800 = M g times L2
Podemos simplificar M dos dois lados:
3 v^2800 = g L2

Passo 6

Agora, vamos resolver para a velocidade v.
Multiplicando ambos os lados por 800:
3 v^2 = 400 g L
Dividindo por 3:
v^2 = 400 g L3
Tirando a raiz quadrada:
v = raiz 400 g L3
Simplificando a raiz quadrada:
v = 20raiz3 raizg L
Se quisermos, podemos também racionalizar o denominador:
v = 20 raiz33 raizg L

Resposta

A velocidade v necessária para que a vareta alcance 90° a partir da posição vertical inicial é:
v = 20 raiz33 raizg L
ou, de forma aproximada,
v approx 11.55 raizg L
Onde g é a aceleração da gravidade e L é o comprimento da vareta.

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