Uma vareta pesada de massa M e comprimento L, pode girar sem atrito em torno de um eixo fixo horizontal que passa pelo ponto A (perpendicular à vareta). Inicialmente a vareta está em repouso, verticalmente. Uma bala de massa
passa através da vareta, num intervalo de tempo curtíssimo, na sua extremidade inferior (ponto de impacto a distância L de A). Antes da colisão a velocidade da bala é ve após é v/2.
(
) Determine que velocidade v deve ocorrer para que a vareta alcance
a partir da sua posição inicial de equilíbrio?
(
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos uma vareta pesada com massa M e comprimento L que pode girar sem atrito em torno de um eixo fixo horizontal no ponto A. Inicialmente, a vareta está parada na posição vertical. Uma bala com massa m = M/10 passa pela vareta no seu ponto mais baixo (a uma distância L de A). Antes da colisão, a bala tem velocidade v e, depois de passar pela vareta, sua velocidade cai para v/2. A pergunta é: qual deve ser a velocidade v da bala para que a vareta consiga girar até 90 graus da posição vertical inicial?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momentum angular e energia rotacional. Vamos dividir a resolução em passos para ficar mais tranquilo de entender.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece durante a colisão da bala com a vareta. Como a colisão acontece em um instante muito curtíssimo, podemos usar a conservação do momentum angular para encontrar a velocidade angular da vareta imediatamente após a bala passar por ela.
Momentum Angular Antes da Colisão:
A vareta está em repouso, então o momentum angular dela é zero. A bala, que está se movendo com velocidade v, tem um momentum angular em relação ao ponto de rotação A. O momentum angular (L) é dado por:
A vareta está em repouso, então o momentum angular dela é zero. A bala, que está se movendo com velocidade v, tem um momentum angular em relação ao ponto de rotação A. O momentum angular (L) é dado por:
Onde:
- r é a distância do ponto de rotação até o ponto de impacto (no nosso caso, L).
- p é o momentum linear da bala (massa vezes velocidade), ou seja, m * v.
Então, o momentum angular total antes da colisão é:
Momentum Angular Depois da Colisão:
Após a colisão, a bala está se movendo com velocidade v/2, então o momentum angular dela é:
Após a colisão, a bala está se movendo com velocidade v/2, então o momentum angular dela é:
A vareta agora está girando com velocidade angular ω, e seu momentum angular é dado por:
Onde I é o momento de inércia da vareta em relação ao ponto A. Para uma vareta fina girando em torno de uma extremidade, o momento de inércia é:
Conservação do Momentum Angular:
A quantidade total de momentum angular antes da colisão deve ser igual à quantidade após a colisão:
A quantidade total de momentum angular antes da colisão deve ser igual à quantidade após a colisão:
Substituindo:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade angular ω da vareta após a colisão.
Primeiro, simplificamos a equação:
Agora, isolamos ω:
Simplificando:
Sabemos que m = M/10, então substituindo:
Então, a velocidade angular da vareta após a colisão é:
Passo 4
Agora que temos a velocidade angular inicial da vareta após a colisão, vamos determinar a energia rotacional que a vareta tem nesse instante.
A energia cinética rotacional (E_rot) é dada por:
Substituindo I e ω:
Simplificando:
Passo 5
Para que a vareta alcance 90 graus a partir da posição inicial, toda essa energia rotacional E_rot precisa ser convertida em energia potencial gravitacional (E_pot) no ponto mais alto do movimento.
A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde:
- g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).
- h é a altura que o centro de massa da vareta sobe.
No caso de uma vareta girando 90 graus, o centro de massa sobe uma distância de L/2 (já que o centro de massa de uma vareta uniforme está no meio do comprimento).
Então:
Igualamos a energia rotacional à energia potencial:
Podemos simplificar M dos dois lados:
Passo 6
Agora, vamos resolver para a velocidade v.
Multiplicando ambos os lados por 800:
Dividindo por 3:
Tirando a raiz quadrada:
Simplificando a raiz quadrada:
Se quisermos, podemos também racionalizar o denominador:
Resposta
A velocidade v necessária para que a vareta alcance 90° a partir da posição vertical inicial é:
ou, de forma aproximada,
Onde g é a aceleração da gravidade e L é o comprimento da vareta.