Observação: Considere em todas as questões numéricas
.
O volante do motor de um carro está sendo testado, e o diâmetro do volante é igual a
. A posição angular dessa roda é dada por:
em que t está em segundos e
em radianos. Determine:
(1,0pt) A velocidade angular
instantânea em
;
O volante do motor de um carro está sendo testado, e o diâmetro do volante é igual a
(1,0pt) A velocidade angular
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um volante de carro com diâmetro de 0,20 metros e uma função que descreve a posição angular desse volante ao longo do tempo:
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade angular instantânea, ou seja, a velocidade em que o volante está girando exatamente em t = 2 segundos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, que ajudam a encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre velocidade angular. A velocidade angular, que chamamos de
, é a taxa de variação da posição angular
em relação ao tempo
. Matematicamente, isso é representado pela derivada de
em relação a
. Ou seja:
Isso significa que para encontrar a velocidade angular, a gente precisa derivar a função
.
Passo 3
Vamos derivar a função
em relação a
. Para fazer isso, aplicamos as regras básicas de derivação:
- A derivada de
é .
Aplicando isso a cada termo da função:
-
Derivada de
: -
Derivada de
: -
Derivada de
:
Agora, juntando todas as derivadas:
Passo 4
Agora que temos a expressão para
, vamos substituir
segundos para encontrar a velocidade angular instantânea naquele momento:
Vamos calcular passo a passo:
-
Calcular
: -
Calcular
:
Agora, substituindo na expressão:
Resposta
A velocidade angular instantânea em t = 2 segundos é de 40 rad/s.