Observação: Considere em todas as questões numéricas g=10,0 m / s^2.
O volante do motor de um carro está sendo testado, e o diâmetro do volante é igual a 0,20 m. A posição angular dessa roda é dada por: theta(t)=(1 0 t+15 t^2-2 , 5 t^3) em que t está em segundos e theta em radianos. Determine:
(1,0pt) A velocidade angular omega instantânea em t=2, os;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um volante de carro com diâmetro de 0,20 metros e uma função que descreve a posição angular desse volante ao longo do tempo: theta(t) = 10t + 15t^2 - 2,5t^3. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade angular instantânea, ou seja, a velocidade em que o volante está girando exatamente em t = 2 segundos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, que ajudam a encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre velocidade angular. A velocidade angular, que chamamos de omega, é a taxa de variação da posição angular theta em relação ao tempo t. Matematicamente, isso é representado pela derivada de theta(t) em relação a t. Ou seja:
omega(t) = dthetadt
Isso significa que para encontrar a velocidade angular, a gente precisa derivar a função theta(t).

Passo 3

Vamos derivar a função theta(t) = 10t + 15t^2 - 2,5t^3 em relação a t. Para fazer isso, aplicamos as regras básicas de derivação:
  • A derivada de at^n é a cdot n cdot t^n-1.
Aplicando isso a cada termo da função:
  1. Derivada de 10t:
    ddt(10t) = 10 cdot 1 cdot t^0 = 10
  2. Derivada de 15t^2:
    ddt(15t^2) = 15 cdot 2 cdot t^1 = 30t
  3. Derivada de -2,5t^3:
    ddt(-2,5t^3) = -2,5 cdot 3 cdot t^2 = -7,5t^2
Agora, juntando todas as derivadas:
omega(t) = 10 + 30t - 7,5t^2

Passo 4

Agora que temos a expressão para omega(t), vamos substituir t = 2 segundos para encontrar a velocidade angular instantânea naquele momento:
omega(2) = 10 + 30(2) - 7,5(2)^2
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular 30(2):
    30 times 2 = 60
  2. Calcular 7,5(2)^2:
    2^2 = 4 7,5 times 4 = 30
Agora, substituindo na expressão:
omega(2) = 10 + 60 - 30 = 40

Resposta

A velocidade angular instantânea em t = 2 segundos é de 40 rad/s.

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