Calcule o volume do conjunto dado.
\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq x+2 y\right}

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1,\;0\le z\le x+2y\}.
Informações dadas:
0\le x\le 1,
0\le y\le 1,
0\le z\le x+2y.
Pergunta: qual é o volume do conjunto descrito por essas desigualdades?

Passo 2

Interpretação (o que vamos calcular): esse conjunto é o sólido situado acima do quadrado base no plano z=0 com x e y variando em [0,1]\times[0,1], e abaixo do plano z=x+2y. O volume de um sólido sob uma superfície z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy é dado pela integral dupla
\text{Volume}=\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=x+2y e D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}. Explicando as notações: dA representa um elemento de área no plano xy; integrar f sobre D soma (integral) as alturas f(x,y) multiplicadas por áreas infinitesimais, resultando no volume.

Passo 3

Montando a integral (escolhemos integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x — a ordem é natural porque o limite superior de z depende de x,y):
\text{Volume}=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{x+2y} dz\,dy\,dx.
Aqui cada símbolo quer dizer:
  • \int_{z=0}^{x+2y} dz soma as contribuições ao longo da direção z entre 0 e x+2y;
  • \int_{y=0}^1 (\cdot)\,dy integra sobre y no intervalo [0,1];
  • \int_{x=0}^1 (\cdot)\,dx integra sobre x no intervalo [0,1].

Passo 4

Integrando em z: a integral de 1 em z de 0 a x+2y dá o comprimento desse intervalo, portanto
\int_{z=0}^{x+2y} dz = x+2y.
Logo a integral tripla reduz-se à integral dupla
\text{Volume}=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1} (x+2y)\,dy\,dx.
Explicação do passo: integrar em z elimina a variável z e deixa a função altura x+2y que agora será somada (integrada) sobre a base no plano xy.

Passo 5

Integrando em y: precisamos calcular
\int_{y=0}^{1} (x+2y)\,dy.
Sabendo que a integral é linear, separamos:
\int_{0}^{1} (x+2y)\,dy = \int_{0}^{1} x\,dy + \int_{0}^{1} 2y\,dy.
Aqui x é tratado como constante ao integrar em y. Calculamos cada parte:
\int_{0}^{1} x\,dy = x\cdot(1-0)=x,
pois a integral de uma constante c em y de 0 a 1 é c\cdot 1.
\int_{0}^{1} 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} = y^{2}\Big|_{0}^{1} = 1.
Somando,
\int_{0}^{1} (x+2y)\,dy = x+1.
Portanto a integral agora é uma integral simples em x:
\text{Volume}=\int_{x=0}^{1} (x+1)\,dx.

Passo 6

Integrando em x: calcule
\int_{0}^{1} (x+1)\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx + \int_{0}^{1} 1\,dx.
As primitivas são conhecidas:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx = x.
Avaliaremos de 0 a 1:
\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} + x\Big|_{0}^{1} = \left(\frac{1^{2}}{2}-0\right) + (1-0) = \frac{1}{2}+1 = \frac{3}{2}.
Então o volume do sólido é \tfrac{3}{2}.

Resposta

\tfrac{3}{2}

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