3 Descreva geometricamente o conjunto
x in R ;|x-2| <=|a-2|
considerando o vários casos possíveis para o parâmetro a.

Passo 1

O enunciado pede para descrever geometricamente o conjunto
xinR : |x-2|<= |a-2|,
ou seja, todos os pontos x da reta cuja distância até 2 é menor ou igual à distância de a até 2. O conteúdo principal é interpretar valor absoluto como distância no eixo real e traduzir a desigualdade em um intervalo.

Passo 2

Definimos
r = |a-2|
A desigualdade |x-2|<= r significa que x está a no máximo r unidades de 2. Geometricamente isso é o intervalo fechado centrado em 2 de raio r:
xin [,2-r,;2+r,]

Passo 3

Agora escrevemos r em função de a em cada caso:
  • Se a=2 então r=|2-2|=0 e o intervalo degenera em 2.
  • Se a>2 então r=a-2 e [,2-r,;2+r,] ;=;[,2-(a-2),;2+(a-2),] ;=;[,4-a,;a,]
  • Se a<2 então r=2-a e [,2-r,;2+r,] ;=;[,2-(2-a),;2+(2-a),] ;=;[,a,;4-a,]

Passo 4

Em todos os casos o conjunto é um segmento fechado na reta real, centrado em 2 e de comprimento 2|a-2|. As três situações são:

Resposta

Para a=2: 2.
Para a>2: o intervalo l[,4-a,;ar].
Para a<2: o intervalo l[a,;4-ar], todos centrados em 2 com raio |a-2|.

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