Calcule os momentos de inércia
e
de um anel fino de raio interno
e raio externo
, com densidade superficial constante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular os momentos de inércia
,
e
de um anel fino com raio interno
, raio externo
e densidade superficial constante
. Vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calcular para formas circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para um anel, que é basicamente uma forma circular, vamos calcular o momento de inércia em relação aos eixos
e
, que são perpendiculares e passam pelo centro do anel, e também em relação ao eixo
, que geralmente é o eixo central do anel.
Passo 3
Como o anel tem uma densidade superficial constante
, podemos calcular a massa total do anel. A massa
é igual à densidade superficial multiplicada pela área do anel:
A área
de um anel é a diferença entre a área do círculo externo e a área do círculo interno:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo
e ao eixo
. Para um anel simétrico, os momentos de inércia em relação aos eixos
e
serão iguais devido à simetria circular. A fórmula para o momento de inércia de um anel em relação a um eixo diametral é:
Substituindo
:
Passo 5
Para o momento de inércia em relação ao eixo central
, que passa perpendicularmente ao plano do anel pelo seu centro, usamos a fórmula:
Mas, nesse caso, como o eixo
é perpendicular, o momento de inércia será:
Substituindo
:
Resposta
Os momentos de inércia do anel são: