Determine a área da região delimitada pela curva polar
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a área da região delimitada pela curva polar
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica em coordenadas polares e cálculo integral, especificamente integrais definidas. Vamos precisar entender como calcular áreas em coordenadas polares utilizando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que, em coordenadas polares, a área
de uma região delimitada por uma curva
é dada pela fórmula:
Isso significa que vamos integrar o quadrado da função
em relação a
dentro dos limites que definem uma volta completa da curva.
Passo 3
No nosso caso, a equação da curva é
. Para calcular a área, precisamos elevar essa função ao quadrado:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula da área:
Podemos simplificar multiplicando os termos:
Passo 5
Vamos calcular a integral termo a termo:
-
-
(porque o cosseno é uma função periódica que se anula ao integrar de a ) - Para
, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 6
Agora, substituímos os valores das integrais na expressão da área:
Resposta
A área da região delimitada pela curva polar
é
unidades de área.