Determine a área da região delimitada pela curva polar r=2(1-cos theta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a área da região delimitada pela curva polar r = 2(1 - cos theta) . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica em coordenadas polares e cálculo integral, especificamente integrais definidas. Vamos precisar entender como calcular áreas em coordenadas polares utilizando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que, em coordenadas polares, a área A de uma região delimitada por uma curva r = f(theta) é dada pela fórmula:
A = 12 integraltheta1^theta2 r^2 , dtheta
Isso significa que vamos integrar o quadrado da função r em relação a theta dentro dos limites que definem uma volta completa da curva.

Passo 3

No nosso caso, a equação da curva é r = 2(1 - cos theta) . Para calcular a área, precisamos elevar essa função ao quadrado:
r^2 = [2(1 - cos theta)]^2 = 4(1 - 2cos theta + cos^2 theta)

Passo 4

Agora, substituímos r^2 na fórmula da área:
A = 12 integral0^2pi 4(1 - 2cos theta + cos^2 theta) , dtheta
Podemos simplificar multiplicando os termos:
A = 2 integral0^2pi (1 - 2cos theta + cos^2 theta) , dtheta

Passo 5

Vamos calcular a integral termo a termo:
  1. integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
  2. integral0^2pi cos theta , dtheta = 0 (porque o cosseno é uma função periódica que se anula ao integrar de 0 a 2pi)
  3. Para integral0^2pi cos^2 theta , dtheta, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então,
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = 12 integral0^2pi (1 + cos 2theta) , dtheta = 12 [2pi + 0] = pi

Passo 6

Agora, substituímos os valores das integrais na expressão da área:
A = 2 ( 2pi - 0 + pi ) = 2 times 3pi = 6pi

Resposta

A área da região delimitada pela curva polar r = 2(1 - cos theta) é 6pi unidades de área.

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