Se g(x)+x sen(g(x))=x^2, encontre g^prime(0).

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
g(x) + xsinl(g(x)r) = x^2,
pede g'(0).
Conteúdo: diferenciação implícita, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos
derivada de g(x) é g'(x) e, pela regra do produto e da cadeia,
ddxl[xsin(g(x))r] = sinl(g(x)r) + xcosl(g(x)r),g'(x)
No lado direito, ddx(x^2)=2x. Logo
g'(x) + sinl(g(x)r) + xcosl(g(x)r),g'(x) = 2x

Passo 3

Agrupando os termos com g'(x):
g'(x)l(1 + xcos(g(x))r) = 2x - sinl(g(x)r)
Assim
g'(x) = 2x - sinl(g(x)r)1 + xcosl(g(x)r)

Passo 4

Para encontrar g'(0), precisamos de g(0). Pondo x=0 na relação inicial:
g(0) + 0cdotsinl(g(0)r) = 0^2 Longrightarrow g(0)=0

Passo 5

Substituindo x=0 e g(0)=0 em
g'(x)=2x-sin(g(x))1+xcos(g(x)), vem
g'(0) = 2cdot0 - sin(0)1 + 0cdotcos(0) = 0 - 01 + 0 = 0

Resposta

g'(0)=0

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