Calcule ou mostre a inexistência dos limites abaixo:
lim (x, y) (0,0) e^x^2+y^2-1x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim(x,y)to(0,0)e^x^2+y^2-1x^2+y^2.
O conteúdo principal é limite de função de duas variáveis e podemos usar coordenadas polares ou expansão de Taylor da exponencial.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
logo x^2+y^2 = r^2. A função torna-se
e^r^2-1r^2,
que não depende de theta, reduzindo o problema a um limite unidimensional em rto0.

Passo 3

Para avaliar
limrto0e^r^2-1r^2,
usamos a expansão de Taylor de e^u em torno de u=0:
e^u = 1 + u + tfracu^22 + o(u^2)
Tomando u=r^2 obtemos
e^r^2-1r^2 = r^2 + tfracr^42 + o(r^4)r^2 = 1 + tfracr^22 + o(r^2)
Quando rto0, esse quociente tende a 1.

Resposta

1

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