Seja Tn a temperatura de um objeto após n minutos. A lei de resfriamento de Newton afirma que a variação da temperatura do objeto é proporcional à sua temperatura no instante anterior, ou seja:
De<a Tn+1=Tn+1-Tn=k Tn
onde k<0 é uma constante que depende das propriedades do objeto e do ambiente.
Obtenha uma expressão para Tn em função da temperatura inicial T0, da constante k e do tempo n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que trabalhar com a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda com o tempo. No caso, a variação da temperatura após cada minuto é proporcional à temperatura anterior. Para resolver isso, vamos precisar de um pouquinho de matemática de progressões e equações. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos diga a temperatura Tn depois de n minutos, usando a temperatura inicial T0, a constante k e o tempo n.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que a gente tem:
De<a Tn+1 = Tn+1 - Tn = k Tn
Isso significa que a diferença de temperatura entre dois minutos consecutivos ( Tn+1 - Tn) é igual a k vezes a temperatura no instante anterior ( Tn). Como k é negativo, isso indica que a temperatura está diminuindo, ou seja, o objeto está esfriando.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para ficar mais clara:
Tn+1 = Tn + k Tn = Tn (1 + k)
Agora, vemos que a temperatura no próximo minuto ( Tn+1) é igual à temperatura atual ( Tn) multiplicada por (1 + k). Isso nos mostra que a temperatura está sendo multiplicada por um fator constante a cada minuto.

Passo 4

Isso é uma progressão geométrica, onde cada termo é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante. A fórmula geral de uma progressão geométrica é:
Tn = T0 times r^n
Onde:
  • T0 é a temperatura inicial,
  • r é a razão da progressão (neste caso, 1 + k),
  • n é o número de termos (ou minutos, no nosso caso).

Passo 5

Substituindo r por (1 + k) na fórmula da progressão geométrica, temos:
Tn = T0 times (1 + k)^n
Essa é a expressão que relaciona a temperatura após n minutos com a temperatura inicial, a constante k e o tempo n.

Resposta

A temperatura após n minutos é dada por:
Tn = T0 times (1 + k)^n

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