Seja
a temperatura de um objeto após
minutos. A lei de resfriamento de Newton afirma que a variação da temperatura do objeto é proporcional à sua temperatura no instante anterior, ou seja:
onde
é uma constante que depende das propriedades do objeto e do ambiente.
Obtenha uma expressão para
em função da temperatura inicial
, da constante
e do tempo
.
onde
Obtenha uma expressão para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que trabalhar com a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda com o tempo. No caso, a variação da temperatura após cada minuto é proporcional à temperatura anterior. Para resolver isso, vamos precisar de um pouquinho de matemática de progressões e equações. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos diga a temperatura
depois de
minutos, usando a temperatura inicial
, a constante
e o tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que a gente tem:
Isso significa que a diferença de temperatura entre dois minutos consecutivos (
) é igual a
vezes a temperatura no instante anterior (
). Como
é negativo, isso indica que a temperatura está diminuindo, ou seja, o objeto está esfriando.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para ficar mais clara:
Agora, vemos que a temperatura no próximo minuto (
) é igual à temperatura atual (
) multiplicada por
. Isso nos mostra que a temperatura está sendo multiplicada por um fator constante a cada minuto.
Passo 4
Isso é uma progressão geométrica, onde cada termo é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante. A fórmula geral de uma progressão geométrica é:
Onde:
-
é a temperatura inicial, -
é a razão da progressão (neste caso, ), -
é o número de termos (ou minutos, no nosso caso).
Passo 5
Substituindo
por
na fórmula da progressão geométrica, temos:
Essa é a expressão que relaciona a temperatura após
minutos com a temperatura inicial, a constante
e o tempo
.
Resposta
A temperatura após
minutos é dada por: