Calcule ou mostre a inexistência dos limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para estudar
.
O conteúdo aqui é análise de limite em duas variáveis e, como quase sempre em , vamos investigar aproximações ao ponto
por caminhos distintos para ver se o valor é sempre o mesmo.
O conteúdo aqui é análise de limite em duas variáveis e, como quase sempre em
Passo 2
Vamos primeiro aproximar por retas do tipo
com
constante. Substituindo em
temos
temos
À medida que
, isso tende a
Logo, por qualquer reta
, o limite é
.
Passo 3
Para ver se há outro valor, escolhemos um caminho não‐linear que faça o denominador anular só no ponto de interesse. Tome por exemplo
Então
e assim
para
. Quando
, isso tende a
.
Passo 4
Encontramos dois limites distintos ao usar diferentes caminhos:
por retas obtemos e pela curva
obtemos
. Como o valor do limite depende do caminho, o limite geral não existe.
por retas obtemos
Resposta
O limite
não existe.