Calcule ou mostre a inexistência dos limites abaixo:
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y

Passo 1

O enunciado pede para estudar
lim(x,y)to(0,0) xyx^2+y.
O conteúdo aqui é análise de limite em duas variáveis e, como quase sempre em R^2, vamos investigar aproximações ao ponto (0,0) por caminhos distintos para ver se o valor é sempre o mesmo.

Passo 2

Vamos primeiro aproximar por retas do tipo y=mx com m constante. Substituindo em
f(x,y)=xyx^2+y
temos
fl(x,mxr) = x,(m x)x^2 + m x = m x^2x(x+m) = m xx+m
À medida que xto0, isso tende a
limxto0m xx+m =0m=0
Logo, por qualquer reta y=mx, o limite é 0.

Passo 3

Para ver se há outro valor, escolhemos um caminho não‐linear que faça o denominador anular só no ponto de interesse. Tome por exemplo
y=-x^2 + x^3
Então
x^2 + y = x^2 + l(-x^2 + x^3r) = x^3, xy = xl(-x^2+x^3r)=-x^3+x^4,
e assim
fl(x,-x^2+x^3r) = -x^3 + x^4x^3 = -1 + x
para xneq0. Quando xto0, isso tende a -1.

Passo 4

Encontramos dois limites distintos ao usar diferentes caminhos:
por retas obtemos 0 e pela curva y=-x^2+x^3 obtemos -1. Como o valor do limite depende do caminho, o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim(x,y)to(0,0)xyx^2+y não existe.

Exercícios relacionados