Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
f(x)=raizx(x^2-1)+e^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! O que precisamos fazer aqui é encontrar a primitiva geral da função f(x) = raizx(x^2 - 1) + e^2 . Isso significa que vamos encontrar uma função F(x) cuja derivada seja igual a f(x) . Para isso, vamos usar as regras de integração e algumas propriedades das funções que conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão raizx(x^2 - 1) . Sabemos que raizx é igual a x^1/2 , então podemos reescrever:
raizx(x^2 - 1) = x^1/2 cdot x^2 - x^1/2 cdot 1 = x^5/2 - x^1/2
Agora, nossa função f(x) ficou:
f(x) = x^5/2 - x^1/2 + e^2

Passo 3

Vamos encontrar a primitiva de cada termo separadamente. Lembre-se que a primitiva de x^n é x^n+1n+1 quando n neq -1 , e a primitiva de uma constante k é kx .
  1. Para x^5/2 :
integral x^5/2 , dx = x^7/27/2 = 27x^7/2
  1. Para -x^1/2 :
integral -x^1/2 , dx = -x^3/23/2 = -23x^3/2
  1. Para e^2 (quem lembra, e^2 é uma constante):
integral e^2 , dx = e^2x

Passo 4

Agora, juntando todas as primitivas que encontramos:
F(x) = 27x^7/2 - 23x^3/2 + e^2x + C
Onde C é a constante de integração que representa todas as possíveis primitivas da função original.

Resposta

A primitiva geral de f(x) = raizx(x^2 - 1) + e^2 é:
F(x) = 27x^7/2 - 23x^3/2 + e^2x + C

Exercícios relacionados