Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
f(x)=x^2-5 x^-23+7raiz[5]x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva geral de
f(x)=x^2-5,x^-tfrac23+7raiz[5]x^2
e depois comprovar o resultado derivando-o.
O conteúdo principal é a integração de potências de x usando
integral x^a,dx=x^a+1a+1(aneq -1)
e, para a verificação, a regra da derivada de potência.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando dividindo cada termo por raiz[5]x^2=x^2/5.
f(x) =x^2x^2/5 -5;x^-2/3x^2/5 +7;1x^2/5 =x^2-tfrac25 -5,x^-tfrac23-tfrac25 +7,x^-tfrac25
Calculamos as somas dos expoentes:
2-tfrac25=tfrac85, -tfrac23-tfrac25=-tfrac1615, -tfrac25=-tfrac25
Logo
f(x)=x^8/5-5,x^-16/15+7,x^-2/5

Passo 3

Integramos termo a termo:
integral x^8/5,dx =x^8/5+18/5+1 =x^13/513/5 =513,x^13/5,
integral -5,x^-16/15,dx =-5;x^-16/15+1-16/15+1 =-5;x^-1/15-1/15 =75,x^-1/15,
integral 7,x^-2/5,dx =7;x^-2/5+1-2/5+1 =7;x^3/53/5 =353,x^3/5

Passo 4

Combinando os resultados e acrescentando constante C, obtemos a primitiva geral
F(x)=513,x^13/5 +75,x^-1/15 +353,x^3/5 +C

Passo 5

Para verificar, derivamos cada parcela de F(x):
ddxl(tfrac513x^13/5r) =x^8/5, ddxl(75,x^-1/15r) =-5,x^-16/15, ddxl(tfrac353x^3/5r) =7,x^-2/5
Somando, retorna exatamente
f(x)=x^8/5-5,x^-16/15+7,x^-2/5,
que é a forma simplificada do integrando original.

Resposta

boxedF(x)=513,x^13/5 +75,x^-1/15 +353,x^3/5 +C

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