Um elemento radioativo
sofre decaimento radioativo natural ao longo do tempo. A cada ano, uma fração
da massa da substância se decompõe. Isso significa que, se a massa no ano
é
, então no ano seguinte ela é dada por:
onde
representa a taxa de decaimento anual (expressa como número decimal).
Suponha que a massa inicial do elemento seja
microgramas. Determine uma expressão para
, a massa restante após
anos, em função de
e
.
onde
Suponha que a massa inicial do elemento seja
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um elemento radioativo que perde uma certa fração de sua massa a cada ano devido ao decaimento radioativo. A massa inicial desse elemento é
microgramas, e a cada ano
, a massa restante é
. A taxa de decaimento anual é representada por
, onde
. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para
, ou seja, a massa restante após
anos, em função de
,
e
.
Passo 2
Vamos começar entendendo a relação de recursão dada na questão:
Isso significa que a massa no ano seguinte (
) é igual à massa do ano atual (
) multiplicada por
. Aqui,
é a taxa de decaimento, então
representa a fração da massa que permanece após um ano.
Passo 3
Para resolver essa relação, precisamos identificar um padrão ou uma fórmula geral para
. Vamos calcular os primeiros valores para ver o que acontece:
- No ano 0 (inicial), a massa é
. - No ano 1, a massa é:
- No ano 2, a massa é:
- No ano 3, a massa é:
Passo 4
Observamos que a cada ano, a massa é multiplicada por
em relação ao ano anterior. Isso sugere que, após
anos, a massa será:
Aqui,
representa a fração da massa que permanece após
anos, e multiplicamos isso pela massa inicial
para obter a massa restante.
Resposta
A massa restante após
anos é dada por: