Um elemento radioativo X sofre decaimento radioativo natural ao longo do tempo. A cada ano, uma fração k % da massa da substância se decompõe. Isso significa que, se a massa no ano n é mn, então no ano seguinte ela é dada por:
mn+1=(1-k) mn
onde 0<k<1 representa a taxa de decaimento anual (expressa como número decimal).
Suponha que a massa inicial do elemento seja M microgramas. Determine uma expressão para mn, a massa restante após n anos, em função de M, k e n.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um elemento radioativo que perde uma certa fração de sua massa a cada ano devido ao decaimento radioativo. A massa inicial desse elemento é M microgramas, e a cada ano n , a massa restante é mn . A taxa de decaimento anual é representada por k , onde 0 < k < 1 . Nosso objetivo é encontrar uma expressão para mn , ou seja, a massa restante após n anos, em função de M , k e n .

Passo 2

Vamos começar entendendo a relação de recursão dada na questão:
mn+1 = (1 - k) mn
Isso significa que a massa no ano seguinte ( mn+1 ) é igual à massa do ano atual ( mn ) multiplicada por (1 - k) . Aqui, k é a taxa de decaimento, então (1 - k) representa a fração da massa que permanece após um ano.

Passo 3

Para resolver essa relação, precisamos identificar um padrão ou uma fórmula geral para mn . Vamos calcular os primeiros valores para ver o que acontece:
  • No ano 0 (inicial), a massa é m0 = M .
  • No ano 1, a massa é:
m1 = (1 - k) m0 = (1 - k) M
  • No ano 2, a massa é:
m2 = (1 - k) m1 = (1 - k)^2 M
  • No ano 3, a massa é:
m3 = (1 - k) m2 = (1 - k)^3 M

Passo 4

Observamos que a cada ano, a massa é multiplicada por (1 - k) em relação ao ano anterior. Isso sugere que, após n anos, a massa será:
mn = (1 - k)^n M
Aqui, (1 - k)^n representa a fração da massa que permanece após n anos, e multiplicamos isso pela massa inicial M para obter a massa restante.

Resposta

A massa restante após n anos é dada por:
mn = M cdot (1 - k)^n

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