Seja
a temperatura de um objeto após
minutos. A lei de resfriamento de Newton afirma que a variação da temperatura do objeto é proporcional à sua temperatura no instante anterior, ou seja:
onde
é uma constante que depende das propriedades do objeto e do ambiente.
Supondo que a temperatura ambiente seja de
, quantos minutos são necessários, aproximadamente, para que a temperatura do bolo atinja esse valor?
onde
Supondo que a temperatura ambiente seja de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando ele está em contato com um ambiente a uma temperatura constante. No nosso caso, queremos descobrir quantos minutos são necessários para que a temperatura do bolo chegue aos
, que é a temperatura ambiente. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton e entender como ela funciona.
Passo 2
A Lei de Resfriamento de Newton é dada pela fórmula:
Aqui,
é a temperatura do objeto no minuto
, e
é uma constante negativa que depende das propriedades do objeto e do ambiente. Essa equação nos diz que a variação da temperatura a cada minuto é proporcional à temperatura no minuto anterior.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. Podemos escrever:
Isso mostra que a temperatura no próximo minuto (
) é igual à temperatura atual (
) multiplicada por
.
Passo 4
Como queremos encontrar quando a temperatura do bolo atinge
, vamos considerar que
é a temperatura ambiente, e a temperatura do bolo está diminuindo até essa temperatura.
Se chamarmos a temperatura inicial do bolo de
, após
minutos, a temperatura será:
Passo 5
Queremos encontrar o tempo
em que
. Então, temos:
Para encontrar
, vamos isolar a variável. Primeiro, dividimos ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver a equação para
:
Isolando
, temos:
Resposta
Portanto, o número de minutos necessários para que a temperatura do bolo atinja
é dado por:
Onde
é a temperatura inicial do bolo e
é a constante da Lei de Resfriamento de Newton.