Seja Tn a temperatura de um objeto após n minutos. A lei de resfriamento de Newton afirma que a variação da temperatura do objeto é proporcional à sua temperatura no instante anterior, ou seja:
De<a Tn+1=Tn+1-Tn=k Tn
onde k<0 é uma constante que depende das propriedades do objeto e do ambiente.
Supondo que a temperatura ambiente seja de 20^circ C, quantos minutos são necessários, aproximadamente, para que a temperatura do bolo atinja esse valor?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando ele está em contato com um ambiente a uma temperatura constante. No nosso caso, queremos descobrir quantos minutos são necessários para que a temperatura do bolo chegue aos 20^circ C, que é a temperatura ambiente. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton e entender como ela funciona.

Passo 2

A Lei de Resfriamento de Newton é dada pela fórmula:
De<a Tn+1 = Tn+1 - Tn = k Tn
Aqui, Tn é a temperatura do objeto no minuto n, e k é uma constante negativa que depende das propriedades do objeto e do ambiente. Essa equação nos diz que a variação da temperatura a cada minuto é proporcional à temperatura no minuto anterior.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. Podemos escrever:
Tn+1 = Tn + k Tn = Tn (1 + k)
Isso mostra que a temperatura no próximo minuto ( Tn+1) é igual à temperatura atual ( Tn) multiplicada por (1 + k).

Passo 4

Como queremos encontrar quando a temperatura do bolo atinge 20^circ C, vamos considerar que 20^circ C é a temperatura ambiente, e a temperatura do bolo está diminuindo até essa temperatura.
Se chamarmos a temperatura inicial do bolo de T0, após n minutos, a temperatura será:
Tn = T0 (1 + k)^n

Passo 5

Queremos encontrar o tempo n em que Tn = 20. Então, temos:
20 = T0 (1 + k)^n
Para encontrar n, vamos isolar a variável. Primeiro, dividimos ambos os lados por T0:
20T0 = (1 + k)^n

Passo 6

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver a equação para n:
ln(20T0) = n ln(1 + k)
Isolando n, temos:
n = ln(20T0)ln(1 + k)

Resposta

Portanto, o número de minutos necessários para que a temperatura do bolo atinja 20^circ C é dado por:
n = ln(20T0)ln(1 + k)
Onde T0 é a temperatura inicial do bolo e k é a constante da Lei de Resfriamento de Newton.

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