Calcule ou mostre que não existe (justificando):
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{y-x^{3}}\,)

Passo 1

O enunciado pede para calcular (ou mostrar que não existe) o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y}{y-x^{3}}.
Informações dadas: a função é \dfrac{x y}{y-x^{3}} definida nos pontos onde y\neq x^{3}. O ponto de interesse é (0,0). Precisamos decidir se existe um número L tal que a expressão acima tende a L quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): em várias variáveis, dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
significa que, independente da maneira como (x,y) se aproxima de (0,0) (por qualquer curva, por qualquer sequência de pontos distintos de (0,0)), os valores de f(x,y) devem ficar arbitrariamente próximos de L. Uma maneira prática de provar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (ou duas sequências) que tendem a (0,0) mas para as quais os limites de f sejam diferentes. Se houver duas aproximações que dão limites diferentes, então não existe um único L que funcione para todas as direções, logo o limite não existe.
Vou usar exatamente essa técnica: escolher duas curvas que se aproximam de (0,0) e calcular o limite restrito a cada uma; se os resultados forem diferentes, concluímos que o limite original não existe.

Passo 3

Primeira curva simples: tomar a reta y=0. Substituindo na função, quando y=0 temos, para x\neq0,
\frac{x\,y}{y-x^{3}} = \frac{x\cdot 0}{0 - x^{3}} = 0.
Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) pela linha y=0 (isto é, (x,0) com x\to0), os valores da função são constantemente 0, e assim
\lim_{x\to 0} \frac{x\cdot 0}{0-x^{3}} = 0.
Logo, o limite ao longo da curva y=0 é \,0.

Passo 4

Segunda curva: aproximar por curvas que ficam muito próximas de y=x^{3}, por exemplo
y = x^{3} + x^{4}.
Essa escolha é interessante porque a função tem denominaror y-x^{3}, então ao aproximar por curvas da forma y=x^{3}+ algo pequeno, conseguimos controlar o denominador e obter um valor diferente de zero no limite.
Substituindo y = x^{3} + x^{4} na expressão:
\frac{x\,y}{y-x^{3}} = \frac{x\bigl(x^{3}+x^{4}\bigr)}{\bigl(x^{3}+x^{4}\bigr)-x^{3}}.
Agora simplificamos passo a passo:
\text{numerador} = x\bigl(x^{3}+x^{4}\bigr) = x^{4} + x^{5},
\text{denominador} = \bigl(x^{3}+x^{4}\bigr)-x^{3} = x^{4}.
Dividindo,
\frac{x^{4}+x^{5}}{x^{4}} = 1 + x.
Quando x\to0, esse valor tende a 1. Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) pela curva y=x^{3}+x^{4}, a função tende a 1:
\lim_{x\to 0} \frac{x\bigl(x^{3}+x^{4}\bigr)}{x^{4}} = 1.

Passo 5

Conclusão a partir dos dois caminhos: pela reta y=0 o limite vale 0; pela curva y=x^{3}+x^{4} o limite vale 1. Como temos duas maneiras de aproximar (0,0) que dão resultados diferentes, não existe um único valor L que seja limite em todas as direções. Portanto o limite multivariável não existe.
Observação extra (didática): de modo mais geral, para curvas y=x^{3}+b x^{4} obtém-se
\frac{x\bigl(x^{3}+b x^{4}\bigr)}{b x^{4}}=\frac{1+b x}{b}\xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{b},
ou seja, escolhendo diferentes b obtemos diferentes limites (qualquer valor \dfrac{1}{b} possível), reforçando a não existência do limite único.

Resposta

O limite não existe.

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