Sejam Talpha, Tbeta: R^2 R^2 rotações em torno da origem com ângulos alpha e beta respectivamente. Exiba as matrizes de Talpha e Tbeta na base canônica de R^2. Mostre que Talpha circ Tbeta=Talpha+beta.

Passo 1

O enunciado pede para representar em matriz, na base canônica de R^2, as rotações Talpha e Tbeta em torno da origem, e mostrar que a composição dessas rotações é a rotação pelo ângulo alpha+beta. Para isso precisamos:
1. Saber que toda rotação é uma transformação linear que envia (x,y) em (xcostheta - ysintheta,;xsintheta + ycostheta).
2. Saber que a matriz em base canônica é obtida aplicando a transformação nos vetores (1,0) e (0,1).
3. Usar que a composição de transformações lineares corresponde ao produto de suas matrizes.
4. Aplicar as fórmulas de soma de ângulos
cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta, sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta

Passo 2

Para Talpha aplicamos nos vetores da base canônica:
Talpha(1,0)=(cosalpha,sinalpha) e
Talpha(0,1)=(-sinalpha,cosalpha).
Logo a matriz de Talpha na base canônica é
Aalpha = cosalpha & -sinalpha sinalpha & cosalpha
De modo análogo,
Abeta = cosbeta & -sinbeta sinbeta & cosbeta
é a matriz de Tbeta.

Passo 3

A composição Talpha circ Tbeta tem matriz dada pelo produto
Aalpha Abeta = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha cos beta & -sin beta sin beta & cos beta
Calculando elemento a elemento obtemos
Aalpha Abeta = cos alpha cdot cos beta - sin alpha cdot sin beta & -cos alpha cdot sin beta - sin alpha cdot cos beta [6pt] sin alpha cdot cos beta + cos alpha cdot sin beta & -sin alpha cdot sin beta + cos alpha cdot cos beta ]

Passo 4

Usando as fórmulas de soma de ângulos, reconhecemos
cosalpha,cosbeta - sinalpha,sinbeta = cos(alpha+beta), sinalpha,cosbeta + cosalpha,sinbeta = sin(alpha+beta),
e também
-cosalpha,sinbeta - sinalpha,cosbeta = -sin(alpha+beta), -sinalpha,sinbeta + cosalpha,cosbeta = cos(alpha+beta)
Portanto
AalphaAbeta = cos(alpha+beta) & -sin(alpha+beta) sin(alpha+beta) & cos(alpha+beta) ,
que é exatamente a matriz de Talpha+beta.

Resposta

A matriz de Talpha é
cosalpha & -sinalpha sinalpha & cosalpha ,
a de Tbeta é
cosbeta & -sinbeta sinbeta & cosbeta ,
e de fato
Talphacirc Tbeta=Talpha+beta

Exercícios relacionados