Sejam
rotações em torno da origem com ângulos
e
respectivamente. Exiba as matrizes de
e
na base canônica de
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para representar em matriz, na base canônica de
, as rotações
e
em torno da origem, e mostrar que a composição dessas rotações é a rotação pelo ângulo
. Para isso precisamos:
. Saber que toda rotação é uma transformação linear que envia
em
.
. Saber que a matriz em base canônica é obtida aplicando a transformação nos vetores
e
.
. Usar que a composição de transformações lineares corresponde ao produto de suas matrizes.
. Aplicar as fórmulas de soma de ângulos
Passo 2
Para
aplicamos nos vetores da base canônica:
e
.
Logo a matriz de na base canônica é
Logo a matriz de
De modo análogo,
é a matriz de
.
Passo 3
A composição
tem matriz dada pelo produto
Calculando elemento a elemento obtemos
Passo 4
Usando as fórmulas de soma de ângulos, reconhecemos
e também
Portanto
que é exatamente a matriz de
.
Resposta
A matriz de
é
a de
é
e de fato