Sejam
projeções ortogonais sobre duas retas do plano, uma das quais é perpendicular à outra. Mostre que
, apesar de
e
não serem nulas.
Passo 1
O enunciado nos dá duas projeções ortogonais
cada uma sobre uma reta no plano, e essas duas retas são perpendiculares entre si. Queremos mostrar que as composições
e
são a transformação nula, mesmo que
e
não o sejam. Para isso, vamos usar a definição de projeção ortogonal em termos de produto interno e a propriedade de ortogonalidade das direções das retas.
cada uma sobre uma reta no plano, e essas duas retas são perpendiculares entre si. Queremos mostrar que as composições
Passo 2
Escolhemos vetores unitários
e
na direção das duas retas, de modo que
Pela definição de projeção ortogonal, para todo
vale
Passo 3
Para qualquer
, calculemos
Mas
, logo
para todo
. Portanto
é a transformação nula.
Passo 4
De modo análogo,
Assim
também é a transformação nula.
Passo 5
Para ver que
e
não são nulas, basta notar, por exemplo, que