Sejam T, S: R^2 R^2 projeções ortogonais sobre duas retas do plano, uma das quais é perpendicular à outra. Mostre que T circ S=S circ T=0, apesar de T e S não serem nulas.

Passo 1

O enunciado nos dá duas projeções ortogonais
T,S:R^2toR^2
cada uma sobre uma reta no plano, e essas duas retas são perpendiculares entre si. Queremos mostrar que as composições
Tcirc S e Scirc T são a transformação nula, mesmo que T e S não o sejam. Para isso, vamos usar a definição de projeção ortogonal em termos de produto interno e a propriedade de ortogonalidade das direções das retas.

Passo 2

Escolhemos vetores unitários ,e1 e ,e2 na direção das duas retas, de modo que
lang<= e1, e1rang<= =1, lang<= e2, e2rang<= =1, lang<= e1,e2rang<= =0
Pela definição de projeção ortogonal, para todo xinR^2 vale
T(x)=lang<= x,e1rang<=,e1, S(x)=lang<= x,e2rang<=,e2

Passo 3

Para qualquer x, calculemos
Tl(S(x)r) = Tl(lang<= x,e2rang<=,e2r) = lang<= x,e2rang<=,T(e2) = lang<= x,e2rang<=,lang<= e2,e1rang<=,e1
Mas lang<= e2,e1rang<==0, logo
Tl(S(x)r)=0
para todo x. Portanto Tcirc S é a transformação nula.

Passo 4

De modo análogo,
Sl(T(x)r) = Sl(lang<= x,e1rang<=,e1r) = lang<= x,e1rang<=,S(e1) = lang<= x,e1rang<=,lang<= e1,e2rang<=,e2 =0
Assim Scirc T também é a transformação nula.

Passo 5

Para ver que T e S não são nulas, basta notar, por exemplo, que
T(e1)=lang<= e1,e1rang<=,e1=e1neq0, S(e2)=lang<= e2,e2rang<=,e2=e2neq0

Resposta

;Tcirc S = Scirc T = 0, mas Tneq0 e Sneq0.

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