Calcule
sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor de $ n $ sabendo que $ 2 A_{n, 2} + 50 = A_{2n, 2} $. Aqui, estamos trabalhando com arranjos, que são um conceito da combinatória. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula dos arranjos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é $ A_{n, 2} $. Na combinatória, $ A_{n, k} $ representa o número de arranjos de $ k $ elementos escolhidos de um conjunto de $ n $ elementos. A fórmula para calcular isso é:
No nosso caso, como $ k = 2 $, temos:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que $ n! = n \times (n-1) \times (n-2)! $. Então, podemos cancelar $ (n - 2)! $ no numerador e denominador:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ A_{n, 2} $ e $ A_{2n, 2} $ na equação original:
Passo 5
Vamos expandir e resolver a equação:
Agora, vamos trazer tudo para um lado da equação:
Resposta
O valor de $ n $ é 5.