Calcule n sabendo que 2 An, 2+50=A2 n, 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor de $ n $ sabendo que $ 2 A_{n, 2} + 50 = A_{2n, 2} $. Aqui, estamos trabalhando com arranjos, que são um conceito da combinatória. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula dos arranjos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é $ A_{n, 2} $. Na combinatória, $ A_{n, k} $ representa o número de arranjos de $ k $ elementos escolhidos de um conjunto de $ n $ elementos. A fórmula para calcular isso é:
An, 2
No nosso caso, como $ k = 2 $, temos:
An, k

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que $ n! = n \times (n-1) \times (n-2)! $. Então, podemos cancelar $ (n - 2)! $ no numerador e denominador:
n! = n times (n-1) times (n-2)!

Passo 4

Agora, vamos substituir $ A_{n, 2} $ e $ A_{2n, 2} $ na equação original:
An, 2

Passo 5

Vamos expandir e resolver a equação:
2n(n - 1) + 50 = 2n(2n - 1) 2n^2 - 2n + 50 = 4n^2 - 2n
Agora, vamos trazer tudo para um lado da equação:
2n^2 - 2n + 50 - 4n^2 + 2n = 0 -2n^2 + 50 = 0 2n^2 = 50 n^2 = 25 n = raiz25 n = 5

Resposta

O valor de $ n $ é 5.

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