Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 engenheiros. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
Nenhum membro seja engenheiro?
Nenhum membro seja engenheiro?
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre formar comissões de 10 pessoas a partir de um grupo de 20, onde 5 são engenheiros. O objetivo é descobrir de quantas maneiras podemos escolher essas 10 pessoas sem incluir nenhum engenheiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação, que nos ajuda a calcular o número de maneiras de selecionar um grupo sem se importar com a ordem.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar quantas pessoas não são engenheiros no grupo total. Temos 20 pessoas no total e 5 delas são engenheiros. Então:
Passo 3
Agora, queremos formar uma comissão de 10 pessoas apenas entre essas 15 que não são engenheiros. Para isso, usamos a fórmula de combinação, que é dada por:
onde:
- $ n $ é o total de itens para escolher,
- $ k $ é o número de itens a serem escolhidos,
- e $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Passo 4
Aplicando a fórmula de combinação para o nosso caso, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular os fatoriais:
Substituindo na fórmula:
Resposta
Existem 3.003 maneiras de formar uma comissão de 10 pessoas sem incluir nenhum engenheiro.