Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 engenheiros. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
Nenhum membro seja engenheiro?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre formar comissões de 10 pessoas a partir de um grupo de 20, onde 5 são engenheiros. O objetivo é descobrir de quantas maneiras podemos escolher essas 10 pessoas sem incluir nenhum engenheiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação, que nos ajuda a calcular o número de maneiras de selecionar um grupo sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quantas pessoas não são engenheiros no grupo total. Temos 20 pessoas no total e 5 delas são engenheiros. Então:
20 pessoas - 5 en>=nheiros = 15 não en>=nheiros ã

Passo 3

Agora, queremos formar uma comissão de 10 pessoas apenas entre essas 15 que não são engenheiros. Para isso, usamos a fórmula de combinação, que é dada por:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde:
  • $ n $ é o total de itens para escolher,
  • $ k $ é o número de itens a serem escolhidos,
  • e $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 4

Aplicando a fórmula de combinação para o nosso caso, temos:
C(15, 10) = 15!10!(15 - 10)! = 15!10! times 5!

Passo 5

Agora, vamos calcular os fatoriais:
15! = 1.307.674.368.000 10! = 3.628.800 5! = 120
Substituindo na fórmula:
C(15, 10) = 1.307.674.368.0003.628.800 times 120 = 1.307.674.368.000435.456.000 = 3.003

Resposta

Existem 3.003 maneiras de formar uma comissão de 10 pessoas sem incluir nenhum engenheiro.

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