Em um equipamento elétrico, há 9 sensores distintos. No entanto, dois sensores de temperatura (iguais) devem ser tratados como idênticos, e três sensores de corrente (iguais entre si) também devem ser considerados idênticos. Quantas disposições distintas podem ser feitas?

Passo 1

Vamos resolver um problema de permutação com itens repetidos! No enunciado, temos 9 sensores distintos, mas alguns são iguais entre si. Precisamos descobrir de quantas maneiras diferentes podemos organizar esses sensores considerando que alguns são idênticos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantos sensores são únicos e quantos são iguais. Temos:
  • 2 sensores de temperatura que são iguais.
  • 3 sensores de corrente que também são iguais.
  • Isso totaliza 2 + 3 = 5 sensores iguais.
  • Logo, os outros 4 sensores são todos diferentes entre si.

Passo 3

Quando temos itens iguais em uma permutação, precisamos ajustar a fórmula para não contar disposições que são iguais por causa desses itens. A fórmula para calcular as permutações com itens repetidos é:
n!n1! times n2! times dots times nk!
Onde:
  • $ n $ é o número total de itens.
  • $ n_1, n_2, \dots, n_k $ são as quantidades de itens repetidos.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema:
  • Total de sensores ($ n $) = 9
  • Sensores de temperatura ($ n_1 $) = 2
  • Sensores de corrente ($ n_2 $) = 3
Substituindo na fórmula:
n

Passo 5

Calculando os fatoriais:
9! = 362880
2! = 2
3! = 6
Então:
3628802 times 6 = 36288012 = 30240

Resposta

Existem 30.240 maneiras distintas de organizar os sensores.

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