Em um equipamento elétrico, há 9 sensores distintos. No entanto, dois sensores de temperatura (iguais) devem ser tratados como idênticos, e três sensores de corrente (iguais entre si) também devem ser considerados idênticos. Quantas disposições distintas podem ser feitas?
Passo 1
Vamos resolver um problema de permutação com itens repetidos! No enunciado, temos 9 sensores distintos, mas alguns são iguais entre si. Precisamos descobrir de quantas maneiras diferentes podemos organizar esses sensores considerando que alguns são idênticos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quantos sensores são únicos e quantos são iguais. Temos:
- 2 sensores de temperatura que são iguais.
- 3 sensores de corrente que também são iguais.
- Isso totaliza 2 + 3 = 5 sensores iguais.
- Logo, os outros 4 sensores são todos diferentes entre si.
Passo 3
Quando temos itens iguais em uma permutação, precisamos ajustar a fórmula para não contar disposições que são iguais por causa desses itens. A fórmula para calcular as permutações com itens repetidos é:
Onde:
- $ n $ é o número total de itens.
- $ n_1, n_2, \dots, n_k $ são as quantidades de itens repetidos.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso problema:
- Total de sensores ($ n $) = 9
- Sensores de temperatura ($ n_1 $) = 2
- Sensores de corrente ($ n_2 $) = 3
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Calculando os fatoriais:
Então:
Resposta
Existem 30.240 maneiras distintas de organizar os sensores.