Calcule
. Calcule
, lembrando que
é a força gravitacional entre as massas
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Calcular
, onde e . - Calcular
, lembrando que é a força gravitacional entre massas e .
Informações dadas que vamos usar:
-
. -
. - A definição do divergente em coordenadas cartesianas é
. - A segunda parte envolve uma singularidade na origem (
), então devemos estar prontos para discutir o resultado para e também o comportamento no ponto (no sentido de distribuições / função delta), se necessário.
Passo 2
Lembrete rápido e regras que vamos usar (explicando cada peça):
- Produto de um escalar
por um campo vetorial : . Isso vem da regra do produto para divergente (análogo à regra do produto para derivadas). - Em coordenadas cartesianas
. - Gradiente de
: para . Explicando: , então , etc., logo . - Usaremos a regra da cadeia:
para .
Passo 3
Vamos calcular
seguindo a regra do produto (mostrando passo a passo).
Escrevendo em componentes temos
. Pela definição do divergente:
Escrevendo
Aplicando a regra do produto a cada termo (por exemplo para o termo em
):
Somando os três termos obtemos
Passo 4
Agora calculamos
(os outros são análogos). Pela regra da cadeia:
para
. Substituindo isso no somatório do passo anterior:
Portanto, juntando com o termo
do passo 3,
válido para
. Observação: no ponto
a expressão pode ser singular dependendo de
; a identidade acima foi obtida assumindo derivadas bem definidas (ou seja,
).
Passo 5
Aplicando o resultado ao caso gravitacional. Note que
com
(porque
). Usando a fórmula do passo anterior com
:
Multiplicando pelo escalar
obtemos
Passo 6
Mas atenção: há uma singularidade na origem (
). Para entender o comportamento global usamos o Teorema da Divergência (Gauss). Tomemos uma bola de raio
centrada na origem e calculemos o fluxo através da superfície esférica:
- No raio
temos (pois na superfície). - O fluxo é
Pelo Teorema da Divergência,
Como já vimos
em toda a bola exceto possivelmente na origem, a única maneira de a integral ser diferente de zero é que exista uma contribuição concentrada no ponto
. Em linguagem de distribuições isso significa que
onde
é a delta de Dirac tridimensional. Essa igualdade é a forma correta que inclui a singularidade na origem; ela é consistente com o fato de que a integral do lado direito sobre qualquer bola que contenha a origem dá
, e dá
se a bola não contém a origem.