Calcule \nabla \cdot\left(r^{n} \vec{r}\right). Calcule \nabla \cdot\left(-G M m \frac{\vec{r}}{r^{3}}\right), lembrando que \vec{F}(x, y, z)=-G M m \frac{\vec{r}}{r^{3}} é a força gravitacional entre as massas m e M.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Calcular \nabla\cdot\bigl(r^{n}\vec r\bigr), onde \vec r=(x,y,z) e r=\|\vec r\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Calcular \nabla\cdot\!\left(-G M m \dfrac{\vec r}{r^{3}}\right), lembrando que \vec F(x,y,z)=-G M m \dfrac{\vec r}{r^{3}} é a força gravitacional entre massas m e M.
Informações dadas que vamos usar:
  • \vec r=(x,y,z).
  • r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • A definição do divergente em coordenadas cartesianas é \nabla\cdot \vec{A}=\dfrac{\partial A_x}{\partial x}+\dfrac{\partial A_y}{\partial y}+\dfrac{\partial A_z}{\partial z}.
  • A segunda parte envolve uma singularidade na origem ( r=0), então devemos estar prontos para discutir o resultado para r\neq0 e também o comportamento no ponto r=0 (no sentido de distribuições / função delta), se necessário.

Passo 2

Lembrete rápido e regras que vamos usar (explicando cada peça):
  • Produto de um escalar f(\vec r) por um campo vetorial \vec r: \nabla\cdot\bigl(f\vec r\bigr)=\nabla f\cdot\vec r + f\,\nabla\cdot\vec r. Isso vem da regra do produto para divergente (análogo à regra do produto para derivadas).
  • Em coordenadas cartesianas \nabla\cdot\vec r=\dfrac{\partial x}{\partial x}+\dfrac{\partial y}{\partial y}+\dfrac{\partial z}{\partial z}=3.
  • Gradiente de r: \nabla r=\dfrac{\vec r}{r} para r\neq0. Explicando: r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, então \partial r/\partial x = x/r, etc., logo \nabla r=(x/r,y/r,z/r)=\vec r/r.
  • Usaremos a regra da cadeia: \nabla (r^{n}) = n r^{n-1}\nabla r = n r^{n-2}\vec r para r\neq0.

Passo 3

Vamos calcular \nabla\cdot\bigl(r^{n}\vec r\bigr) seguindo a regra do produto (mostrando passo a passo).
Escrevendo r^{n}\vec r em componentes temos \bigl(r^{n}x,\;r^{n}y,\;r^{n}z\bigr). Pela definição do divergente:
\nabla\cdot\bigl(r^{n}\vec r\bigr) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(r^{n}x\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(r^{n}y\bigr) + \frac{\partial}{\partial z}\bigl(r^{n}z\bigr).
Aplicando a regra do produto a cada termo (por exemplo para o termo em x):
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(r^{n}x\bigr)=r^{n}+x\frac{\partial r^{n}}{\partial x}.
Somando os três termos obtemos
\nabla\cdot\bigl(r^{n}\vec r\bigr)=3r^{n} + \left(x\frac{\partial r^{n}}{\partial x}+y\frac{\partial r^{n}}{\partial y}+z\frac{\partial r^{n}}{\partial z}\right).

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{\partial r^{n}}{\partial x} (os outros são análogos). Pela regra da cadeia:
\frac{\partial r^{n}}{\partial x}=n r^{n-1}\frac{\partial r}{\partial x}=n r^{n-1}\frac{x}{r}=n r^{n-2} x,
para r\neq0. Substituindo isso no somatório do passo anterior:
x\frac{\partial r^{n}}{\partial x}+y\frac{\partial r^{n}}{\partial y}+z\frac{\partial r^{n}}{\partial z} = n r^{n-2}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=n r^{n-2} r^{2}=n r^{n}.
Portanto, juntando com o termo 3r^{n} do passo 3,
\nabla\cdot\bigl(r^{n}\vec r\bigr)=3r^{n}+n r^{n}=(n+3)r^{n},
válido para r\neq0. Observação: no ponto r=0 a expressão pode ser singular dependendo de n; a identidade acima foi obtida assumindo derivadas bem definidas (ou seja, r\neq0).

Passo 5

Aplicando o resultado ao caso gravitacional. Note que
-GMm\,\frac{\vec r}{r^{3}} = -GMm\; r^{n}\vec r
com n=-3 (porque r^{-3}\vec r = r^{-3}\vec r). Usando a fórmula do passo anterior com n=-3:
\nabla\cdot\!\bigl(r^{-3}\vec r\bigr)=( -3 + 3) r^{-3}=0\quad\text{para }r\neq0.
Multiplicando pelo escalar -GMm obtemos
\nabla\cdot\!\left(-GMm\,\frac{\vec r}{r^{3}}\right)=0\quad\text{para }r\neq0.

Passo 6

Mas atenção: há uma singularidade na origem ( r=0). Para entender o comportamento global usamos o Teorema da Divergência (Gauss). Tomemos uma bola de raio R centrada na origem e calculemos o fluxo através da superfície esférica:
  • No raio R temos \vec F=-GMm\,\dfrac{\hat r}{R^{2}} (pois \vec r/r^{3}=\hat r/R^{2} na superfície).
  • O fluxo é
\Phi=\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S = \left(-GMm\frac{1}{R^{2}}\right)\cdot 4\pi R^{2} = -4\pi GMm.
Pelo Teorema da Divergência,
\iiint_{\text{bola}}\nabla\cdot\vec F\,dV = \Phi = -4\pi GMm.
Como já vimos \nabla\cdot\vec F=0 em toda a bola exceto possivelmente na origem, a única maneira de a integral ser diferente de zero é que exista uma contribuição concentrada no ponto \vec r=\vec 0. Em linguagem de distribuições isso significa que
\nabla\cdot\!\left(-GMm\frac{\vec r}{r^{3}}\right) = -4\pi GMm\,\delta(\vec r),
onde \delta(\vec r) é a delta de Dirac tridimensional. Essa igualdade é a forma correta que inclui a singularidade na origem; ela é consistente com o fato de que a integral do lado direito sobre qualquer bola que contenha a origem dá -4\pi GMm, e dá 0 se a bola não contém a origem.

Resposta

\displaystyle \nabla\cdot\bigl(r^{n}\vec r\bigr)=(n+3)\,r^{n}\quad\text{(para }r\neq0\text{)}
\displaystyle \nabla\cdot\!\left(-G M m\,\frac{\vec r}{r^{3}}\right)=0\quad\text{(para }r\neq0\text{), e }\nabla\cdot\!\left(-G M m\,\frac{\vec r}{r^{3}}\right)=-4\pi G M m\,\delta(\vec r)\\ \text{(no sentido das distribuições).}çõ

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