Calcule
em cada caso.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o gradiente
da função dada.
Informações fornecidas:
Variáveis independentes:
e
. Observação sobre o domínio: para trabalhar com logaritmos naturais de forma geral (e evitar problemas com potências não inteiras), vamos assumir
. Se
e
for um inteiro, algumas fórmulas abaixo continuam válidas, mas a derivação usando
exige
.
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos estruturar a conta. O gradiente de uma função escalar de duas variáveis é o vetor das derivadas parciais em relação a cada variável:
Explicando as derivadas parciais:
é a derivada de
considerando
fixo;
é a derivada de
considerando
fixo. Vamos calcular cada uma com cuidado.
Passo 3
Cálculo de
. Técnica prática: escrever
usando exponencial e logaritmo natural para facilitar diferenciação quando a expoente também depende de variáveis. Reescrevemos
Aqui usamos a identidade
válida para
. Agora derivamos em relação a
, tratando
como constante. Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Tomando
, temos
porque a derivada de
é
. Portanto,
Voltando à forma original
, obtemos
Comentário prático: uma outra forma de ver esse resultado é lembrar da regra de potência com expoente constante; aqui ela se modifica porque o expoente depende de
, mas a identidade obtida é
(para
).
Passo 4
Cálculo de
. Usamos novamente
. Agora derivamos em relação a
, tratando
como constante. Pela regra da cadeia para a variável
,
Como
é tratado como constante,
é uma constante em relação a
, então
. Assim
Interpretação: aumentar um pouco
multiplica
por aproximadamente
vezes o aumento; faz sentido porque a sensibilidade em
depende de
.
Passo 5
Juntando os dois componentes obtemos o gradiente. Portanto,
válido para
(e também aplicável em casos especiais quando
e
inteiro, com cuidado).