Calcule \nabla f em cada caso.
f=x^{y}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o gradiente \nabla f da função dada.
Informações fornecidas:
f(x,y)=x^{y}.
Variáveis independentes: x e y. Observação sobre o domínio: para trabalhar com logaritmos naturais de forma geral (e evitar problemas com potências não inteiras), vamos assumir x>0. Se x\le 0 e y for um inteiro, algumas fórmulas abaixo continuam válidas, mas a derivação usando \ln x exige x>0.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos estruturar a conta. O gradiente de uma função escalar de duas variáveis é o vetor das derivadas parciais em relação a cada variável:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Explicando as derivadas parciais: \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f considerando y fixo; \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada de f considerando x fixo. Vamos calcular cada uma com cuidado.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Técnica prática: escrever x^{y} usando exponencial e logaritmo natural para facilitar diferenciação quando a expoente também depende de variáveis. Reescrevemos
x^{y}=e^{y\ln x}.
Aqui usamos a identidade a^{b}=e^{b\ln a} válida para a>0. Agora derivamos em relação a x, tratando y como constante. Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)}\cdot g'(x). Tomando g(x)=y\ln x, temos g'(x)=y\cdot\frac{1}{x} porque a derivada de \ln x é \frac{1}{x}. Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dx}\big(e^{y\ln x}\big) = e^{y\ln x}\cdot \big(y\cdot\frac{1}{x}\big).
Voltando à forma original e^{y\ln x}=x^{y}, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=x^{y}\cdot\frac{y}{x}=y\,x^{y-1}.
Comentário prático: uma outra forma de ver esse resultado é lembrar da regra de potência com expoente constante; aqui ela se modifica porque o expoente depende de y, mas a identidade obtida é \frac{\partial}{\partial x}x^{y}=y x^{y-1} (para x>0).

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. Usamos novamente f(x,y)=e^{y\ln x}. Agora derivamos em relação a y, tratando x como constante. Pela regra da cadeia para a variável y,
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{dy}\big(e^{y\ln x}\big) = e^{y\ln x}\cdot \frac{d}{dy}(y\ln x).
Como x é tratado como constante, \ln x é uma constante em relação a y, então \frac{d}{dy}(y\ln x)=\ln x. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{y\ln x}\cdot \ln x = x^{y}\ln x.
Interpretação: aumentar um pouco y multiplica x^{y} por aproximadamente \ln x vezes o aumento; faz sentido porque a sensibilidade em y depende de \ln x.

Passo 5

Juntando os dois componentes obtemos o gradiente. Portanto,
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\bigl(y\,x^{y-1},\;x^{y}\ln x\bigr),
válido para x>0 (e também aplicável em casos especiais quando x\le 0 e y inteiro, com cuidado).

Resposta

\displaystyle \nabla f(x,y)=\bigl(y\,x^{y-1},\;x^{y}\ln x\bigr)

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