Calcule as seguintes integrais:
\int_{1}^{2} \frac{4 x^{2}-7 x-12}{x(x+2)(x-3)} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{1}^{2} \frac{4 x^{2}-7 x-12}{x(x+2)(x-3)}\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é de x=1 até x=2.
  • O integrando é a função racional \dfrac{4 x^{2}-7 x-12}{x(x+2)(x-3)}.
  • Não há singularidade do integrando em [1,2] (note que os polos x=0,-2,3 estão fora do intervalo [1,2] exceto 3 que está fora também), portanto a integral imprópria não é um problema aqui.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): para integrar uma função racional cuja ordem do numerador é menor que a do denominador (aqui grau 2 sobre grau 3), o método direto e eficiente é decompor em frações parciais do tipo
\frac{4 x^{2}-7 x-12}{x(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-3},
com constantes A,B,C. Depois integramos cada termo do tipo \dfrac{1}{x+a}, que tem primitiva \ln|x+a|. Agora vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Escrevemos a decomposição e multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum x(x+2)(x-3). Assim obtemos a identidade polinomial
4x^{2}-7x-12 = A(x+2)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+2).
Esta é uma igualdade de polinômios válida para todo x. Para encontrar A,B,C podemos comparar coeficientes ou usar valores específicos de x. Vou usar uma mistura: valores convenientes primeiro.

Passo 4

Escolhemos valores de x que anulem fatores para obter constantes rapidamente.
  • Para x=0: da identidade
4\cdot 0^{2}-7\cdot 0 -12 = A(0+2)(0-3) + B\cdot 0\cdot(0-3) + C\cdot 0\cdot(0+2),
ou seja
-12 = A\cdot 2\cdot(-3) = -6A.
Logo
A = 2.

Passo 5

Com A=2, podemos comparar coeficientes dos termos em x^{2}, x e constante na identidade original. Expandindo os termos gerais (ou simplesmente substituindo A e comparando), a soma dos coeficientes de x^{2}
A + B + C = 4.
Substituindo A=2 obtemos
B + C = 2.
A comparação dos coeficientes de x (coeficiente do termo x) dá
(-A) + (-3B) + (2C) = -7.
Substituindo A=2 obtemos
-2 -3B + 2C = -7 \quad\Longrightarrow\quad -3B + 2C = -5.

Passo 6

Resolvemos o sistema linear formado por
\begin{cases} B + C = 2,\\[4pt] -3B + 2C = -5. \end{cases}
Da primeira equação B = 2 - C. Substituindo na segunda:
-3(2-C) + 2C = -5 \quad\Longrightarrow\quad -6 + 3C + 2C = -5.
Logo
5C -6 = -5 \quad\Longrightarrow\quad 5C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{1}{5}.
E então
B = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}.]

Passo 7

Agora temos a decomposição completa:
\frac{4 x^{2}-7 x-12}{x(x+2)(x-3)} = \frac{2}{x} + \frac{9/5}{x+2} + \frac{1/5}{x-3}.
Para clareza podemos escrever
\frac{4 x^{2}-7 x-12}{x(x+2)(x-3)} = \frac{2}{x} + \frac{9}{5}\cdot\frac{1}{x+2} + \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x-3}.

Passo 8

Integramos termo a termo. Lembrando a primitiva básica
\int \frac{1}{x+a}\,dx = \ln|x+a| + C,
temos como primitiva da decomposição
F(x)=2\ln|x| + \frac{9}{5}\ln|x+2| + \frac{1}{5}\ln|x-3| + C.
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \displaystyle \int_{1}^{2} f(x)\,dx = F(2)-F(1).

Passo 9

Calculamos F(2) e F(1).
  • Para x=2:
F(2)=2\ln 2 + \frac{9}{5}\ln 4 + \frac{1}{5}\ln|2-3| = 2\ln 2 + \frac{9}{5}\ln 4 + \frac{1}{5}\ln 1.
Como \ln 1=0, simplifica para
F(2)=2\ln 2 + \frac{9}{5}\ln 4.
  • Para x=1:
F(1)=2\ln 1 + \frac{9}{5}\ln 3 + \frac{1}{5}\ln|1-3| = 0 + \frac{9}{5}\ln 3 + \frac{1}{5}\ln 2.

Passo 10

Subtraindo F(2)-F(1):
\int_{1}^{2} \frac{4 x^{2}-7 x-12}{x(x+2)(x-3)}\,dx = \left(2\ln 2 + \frac{9}{5}\ln 4\right) - \left(\frac{9}{5}\ln 3 + \frac{1}{5}\ln 2\right).
Agrupando os termos em \ln 2 e fatorando \dfrac{9}{5}:
= \left(2 - \frac{1}{5}\right)\ln 2 + \frac{9}{5}\bigl(\ln 4 - \ln 3\bigr) = \frac{9}{5}\ln 2 + \frac{9}{5}\ln\!\left(\frac{4}{3}\right).
Somando os logaritmos:
\frac{9}{5}\ln 2 + \frac{9}{5}\ln\!\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{9}{5}\ln\!\left(2\cdot\frac{4}{3}\right) = \frac{9}{5}\ln\!\left(\frac{8}{3}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{9}{5}\ln\!\left(\frac{8}{3}\right)

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