Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas:
- O intervalo de integração é de
até . - O integrando é a função racional
. - Não há singularidade do integrando em
(note que os polos estão fora do intervalo exceto que está fora também), portanto a integral imprópria não é um problema aqui.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): para integrar uma função racional cuja ordem do numerador é menor que a do denominador (aqui grau
sobre grau
), o método direto e eficiente é decompor em frações parciais do tipo
com constantes
. Depois integramos cada termo do tipo
, que tem primitiva
. Agora vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Escrevemos a decomposição e multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum
. Assim obtemos a identidade polinomial
Esta é uma igualdade de polinômios válida para todo
. Para encontrar
podemos comparar coeficientes ou usar valores específicos de
. Vou usar uma mistura: valores convenientes primeiro.
Passo 4
Escolhemos valores de
que anulem fatores para obter constantes rapidamente.
- Para
: da identidade
ou seja
Logo
Passo 5
Com
, podemos comparar coeficientes dos termos em
,
e constante na identidade original. Expandindo os termos gerais (ou simplesmente substituindo
e comparando), a soma dos coeficientes de
dá
Substituindo
obtemos
A comparação dos coeficientes de
(coeficiente do termo
) dá
Substituindo
obtemos
Passo 6
Resolvemos o sistema linear formado por
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Logo
E então
Passo 7
Agora temos a decomposição completa:
Para clareza podemos escrever
Passo 8
Integramos termo a termo. Lembrando a primitiva básica
temos como primitiva da decomposição
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
.
Passo 9
Calculamos
e
.
- Para
:
Como
, simplifica para
- Para
:
Passo 10
Subtraindo
:
Agrupando os termos em
e fatorando
:
Somando os logaritmos: