Determine a convergência ou divergência das seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
converge ou diverge. Informações dadas e pontos importantes a observar:
- A função a integrar é
. - O intervalo de integração é
. - Repare que o denominador
anula-se em , que pertence ao intervalo . Logo há uma singularidade (discontinuidade) interior ao intervalo. - Portanto a integral é imprópria por causa dessa descontinuidade em
. O que se pede é verificar se a integral imprópria definida como soma dos limites laterais converge (ou seja, se ambos os limites laterais são finitos).
Passo 2
Definição prática que vamos usar (muito importante na prova): quando a integranda tem uma singularidade em um ponto interno
do intervalo
, a integral imprópria é definida como a soma das integrais próprias limite à esquerda e à direita:
desde que ambos os limites existam e sejam finitos. Se algum desses limites é infinito ou não existe, dizemos que a integral imprópria diverge. No nosso caso
,
e
.
Passo 3
Antes de calcular os limites, vamos achar uma primitiva de
. Uma técnica simples é manipular algebricamente a fração para decompor em termos fáceis de integrar. Faço:
Como
(porque
), obtemos
Essa decomposição é útil porque agora sabemos integrar cada termo facilmente.
Passo 4
Integrando termo a termo:
-
. -
. Note que , então uma primitiva é (pois a derivada de é ).
Portanto uma primitiva deé
Você pode conferir derivando
e obtendo de volta
.
Passo 5
Agora calculemos a integral à esquerda da singularidade, isto é
Usando a primitiva
,
Calcule
:
Para
temos
, logo
Assim
Agora tome o limite
. Quando
temos
e
, portanto
. Assim o limite é
. Conclusão:
ou seja, a integral à esquerda diverge (vai para
).
Passo 6
Calculemos a integral à direita da singularidade:
Novamente com a primitiva,
Calcule
:
Para
temos
, então
Ao tomar
vemos
e assim
; portanto
. Assim
Logo
ou seja, a integral à direita diverge (vai para
).
Passo 7
Conclusão a partir dos passos anteriores: como a integral imprópria foi definida como
e temos
e
(ambos não finitos), a integral imprópria não converge. Observação adicional (útil para a prova): embora a integral imprópria não converja, o valor da soma simétrica (valor principal de Cauchy) existe; calculando a soma simétrica das integrais com corte
em torno de
aparece o limite finito
Mas atenção: esse valor (valor principal) não significa que a integral imprópria original converge. Ele é uma forma simétrica de cancelar divergências e não substitui a exigência de que os dois limites laterais sejam finitos.
Resposta
A integral imprópria diverge.