Determine a convergência ou divergência das seguintes integrais impróprias:
\int_{-2}^{2} \frac{x}{1-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{-2}^{2} \frac{x}{1-x}\,dx
converge ou diverge. Informações dadas e pontos importantes a observar:
  • A função a integrar é f(x)=\dfrac{x}{1-x}.
  • O intervalo de integração é [-2,2].
  • Repare que o denominador 1-x anula-se em x=1, que pertence ao intervalo [-2,2]. Logo há uma singularidade (discontinuidade) interior ao intervalo.
  • Portanto a integral é imprópria por causa dessa descontinuidade em x=1. O que se pede é verificar se a integral imprópria definida como soma dos limites laterais converge (ou seja, se ambos os limites laterais são finitos).

Passo 2

Definição prática que vamos usar (muito importante na prova): quando a integranda tem uma singularidade em um ponto interno c do intervalo [a,b], a integral imprópria é definida como a soma das integrais próprias limite à esquerda e à direita:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{t\to c^-}\int_{a}^{t} f(x)\,dx \;+\; \lim_{s\to c^+}\int_{s}^{b} f(x)\,dx,
desde que ambos os limites existam e sejam finitos. Se algum desses limites é infinito ou não existe, dizemos que a integral imprópria diverge. No nosso caso a=-2, b=2 e c=1.

Passo 3

Antes de calcular os limites, vamos achar uma primitiva de f(x)=\dfrac{x}{1-x}. Uma técnica simples é manipular algebricamente a fração para decompor em termos fáceis de integrar. Faço:
\frac{x}{1-x}=\frac{x-1+1}{1-x}=\frac{x-1}{1-x}+\frac{1}{1-x}.
Como \dfrac{x-1}{1-x}=-1 (porque x-1=-(1-x)), obtemos
\frac{x}{1-x}=-1+\frac{1}{1-x}.
Essa decomposição é útil porque agora sabemos integrar cada termo facilmente.

Passo 4

Integrando termo a termo:
  • \displaystyle\int -1\,dx = -x + C.
  • \displaystyle\int \frac{1}{1-x}\,dx. Note que \frac{d}{dx}(1-x)=-1, então uma primitiva é -\ln|1-x| (pois a derivada de -\ln|1-x| é -\frac{1}{1-x}\cdot(-1)=\frac{1}{1-x}).
    Portanto uma primitiva de f é
F(x) = -x - \ln|1-x| + C.
Você pode conferir derivando F e obtendo de volta \dfrac{x}{1-x}.

Passo 5

Agora calculemos a integral à esquerda da singularidade, isto é
I_1=\lim_{a\to 1^-}\int_{-2}^{a}\frac{x}{1-x}\,dx.
Usando a primitiva F,
\int_{-2}^{a}\frac{x}{1-x}\,dx = F(a)-F(-2).
Calcule F(-2):
F(-2) = -(-2) - \ln|1-(-2)| = 2 - \ln 3.
Para a<1 temos |1-a|=1-a, logo
F(a) = -a - \ln(1-a).
Assim
\int_{-2}^{a}\frac{x}{1-x}\,dx = \big(-a - \ln(1-a)\big) - \big(2 - \ln 3\big).
Agora tome o limite a\to 1^-. Quando a\to 1^- temos -a\to -1 e \ln(1-a)\to -\infty, portanto -\ln(1-a)\to +\infty. Assim o limite é +\infty. Conclusão:
I_1=+\infty,
ou seja, a integral à esquerda diverge (vai para +\infty).

Passo 6

Calculemos a integral à direita da singularidade:
I_2=\lim_{b\to 1^+}\int_{b}^{2}\frac{x}{1-x}\,dx.
Novamente com a primitiva,
\int_{b}^{2}\frac{x}{1-x}\,dx = F(2)-F(b).
Calcule F(2):
F(2) = -2 - \ln|1-2| = -2 - \ln 1 = -2.
Para b>1 temos |1-b|=b-1, então
F(b) = -b - \ln(b-1).
Ao tomar b\to 1^+ vemos \ln(b-1)\to -\infty e assim -\ln(b-1)\to +\infty; portanto F(b)\to +\infty. Assim
\int_{b}^{2}\frac{x}{1-x}\,dx = -2 - F(b)\to -\infty.
Logo
I_2=-\infty,
ou seja, a integral à direita diverge (vai para -\infty).

Passo 7

Conclusão a partir dos passos anteriores: como a integral imprópria foi definida como
\int_{-2}^{2}\frac{x}{1-x}\,dx = I_1 + I_2,
e temos I_1=+\infty e I_2=-\infty (ambos não finitos), a integral imprópria não converge. Observação adicional (útil para a prova): embora a integral imprópria não converja, o valor da soma simétrica (valor principal de Cauchy) existe; calculando a soma simétrica das integrais com corte \varepsilon em torno de 1 aparece o limite finito
\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left(\int_{-2}^{1-\varepsilon}\frac{x}{1-x}\,dx+\int_{1+\varepsilon}^{2}\frac{x}{1-x}\,dx\right) = -4+\ln 3.
Mas atenção: esse valor (valor principal) não significa que a integral imprópria original converge. Ele é uma forma simétrica de cancelar divergências e não substitui a exigência de que os dois limites laterais sejam finitos.

Resposta

A integral imprópria diverge.

Exercícios relacionados