Calcule \nabla f em cada caso.
f=2^{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \nabla f onde f=2^{x-y}.
Informações relevantes que o enunciado deu:
  • A função é f(x,y)=2^{x-y}.
  • A função depende de duas variáveis, x e y.
  • A tarefa é encontrar o vetor gradiente \nabla f (isto é, todas as derivadas parciais).

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos representá-lo:
\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x mantendo y fixo, e \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y mantendo x fixo. Na prática, vamos calcular essas duas derivadas parciais.

Passo 3

Regra para derivar a^{u(x,y)} (base a constante, expoente u função de x,y): escrevemos
a^{u(x,y)}=e^{u(x,y)\ln a}.
Derivando, pela regra da cadeia, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}a^{u(x,y)}=a^{u(x,y)}\ln a\cdot\frac{\partial u}{\partial x},
e análogo para \partial/\partial y. Aqui \ln é o logaritmo natural (base e).

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: defina u(x,y)=x-y, então
\frac{\partial u}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-1.
Usando a fórmula do passo anterior com a=2 e u=x-y, temos
\frac{\partial f}{\partial x}=2^{x-y}\ln 2\cdot 1=(\ln 2)\,2^{x-y},
e
\frac{\partial f}{\partial y}=2^{x-y}\ln 2\cdot(-1)=-(\ln 2)\,2^{x-y}.

Passo 5

Juntando as componentes, o gradiente fica
\nabla f=\bigl((\ln 2)\,2^{x-y},\; -(\ln 2)\,2^{x-y}\bigr).
Podemos também escrever de forma fatorada:
\nabla f=(\ln 2)\,2^{x-y}\,(1,-1).

Resposta

\nabla f=\bigl((\ln 2)\,2^{x-y},\; -(\ln 2)\,2^{x-y}\bigr)

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