Mostre que o campo vetorial
A=-phi cot thetar
é solução da equação
nabla times A=rr^2
Use coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
vec A=-hatphi,cotthetar
satisfaz
nablatimesvec A=hat rr^2
Este é um exercício de cálculo vetorial em coordenadas esféricas; vamos usar a expressão do rotacional em esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, para
vec A=Arhat r+Athetahattheta+Aphihatphi
vale
(nablatimesvec A)r =1rsinthetal[partialpartialtheta(Aphisintheta) -partial Athetapartialphir],
(nablatimesvec A)theta =1rl[1sinthetapartial Arpartialphi -partialpartial r(rAphi)r],
(nablatimesvec A)phi =1rl[partialpartial r(rAtheta) -partial Arpartialthetar]

Passo 3

No nosso caso
Ar=0, Atheta=0, Aphi=-cotthetar
Calculamos primeiro
Aphisintheta =-cotthetar,sintheta =-costhetar,
partialpartialtheta(Aphisintheta) =partialpartialthetal(-costhetarr) =sinthetar
Logo
(nablatimesvec A)r =1rsintheta,sinthetar =1r^2

Passo 4

Para as componentes theta e phi, note que Ar=0 e Atheta=0, então
(nablatimesvec A)theta =-1r,partialpartial r(rAphi) =-1r,partialpartial rl(-cotthetar) =0,
(nablatimesvec A)phi =1rpartialpartial r(rAtheta) -1rpartial Arpartialtheta =0

Passo 5

Assim concluímos que
nablatimesvec A =1r^2,hat r
como solicitado.

Resposta

O campo vec A=-hatphi,cottheta/r satisfaz nablatimesvec A=hat r/r^2.

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