Determine o conjunto solucao (c.s.) das seguintes equacoes
|2 x-3| & =4 x-11 |x^2-3| & =2 x-4 |x-1| & =x^2+1 |x^3| & =x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o conjunto solução (c.s.) de quatro equações envolvendo valores absolutos:
lvert2x-3rvert=4x-11,
lvert x^2-3rvert=2x-4,
lvert x-1rvert=x^2+1,
lvert x^3rvert=x
O método consiste em exigir que o lado direito seja compatível (não negativo quando igual a um módulo) e usar a definição de valor absoluto para cada caso de sinal.

Passo 2

Para lvert2x-3rvert=4x-11 precisamos de
4x-11>=0implies x>=114
Se 2x-3>=0 (isto é, x>=32) então
2x-3=4x-11implies x=4,
que satisfaz x>=114. Se 2x-3<0 não há solução em x>=114. Portanto a c.s. dessa equação é
4

Passo 3

Para lvert x^2-3rvert=2x-4 exigimos
2x-4>=0implies x>=2
Em x>=2 temos x^2-3>=0, logo
x^2-3=2x-4implies x^2-2x+1=0implies(x-1)^2=0implies x=1,
mas 1<2 não satisfaz a condição inicial. Assim não há solução real, ou seja
emptyset

Passo 4

Para lvert x-1rvert=x^2+1 note que x^2+1>=0. Se x-1>=0 ( x>=1) então
x-1=x^2+1implies x^2-x+2=0
não tem raízes reais. Se x-1<0 ( x<1) então
1-x=x^2+1implies x^2+x=0implies x(x+1)=0implies x=0 ou x=-1,
ambos satisfazendo x<1. Portanto a c.s. é
-1,0

Passo 5

Para lvert x^3rvert=x usamos lvert x^3rvert=|x|^3. Se x>=0 então |x|^3=x^3 e
x^3=ximplies x(x^2-1)=0implies xin-1,0,1,
mas em x>=0 só ficam x=0 e x=1. Se x<0 então |x|^3=(-x)^3=-x^3 e
-x^3=ximplies x(x^2+1)=0implies x=0,
que não satisfaz x<0. Logo a c.s. é
0,1

Resposta

Equação 1: c.s. = 4
Equação 2: c.s. = emptyset
Equação 3: c.s. = -1,0
Equação 4: c.s. = 0,1

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