Calcule \nabla \times \mathbf{A} para os seguintes campos:
\mathbf{A}=\frac{3 \cdot x \cdot y^{2}}{z} \mathbf{a}_{x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{A}
do campo vetorial dado em coordenadas cartesianas por
\mathbf{A}=\frac{3\,x\,y^{2}}{z}\,\mathbf{a}_{x}.
O conteúdo aqui é a definição de rotacional em coordenadas cartesianas, que exige cálculo de derivadas parciais das componentes de \mathbf{A}.

Passo 2

Identificamos as componentes de \mathbf{A} na base \{\mathbf{a}_{x},\mathbf{a}_{y},\mathbf{a}_{z}\}:
A_{x}=\frac{3\,x\,y^{2}}{z}, \quad A_{y}=0, \quad A_{z}=0.

Passo 3

Usamos a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas:
\nabla\times\mathbf{A} =\bigl(\partial_{y}A_{z}-\partial_{z}A_{y}\bigr)\,\mathbf{a}_{x} +\bigl(\partial_{z}A_{x}-\partial_{x}A_{z}\bigr)\,\mathbf{a}_{y} +\bigl(\partial_{x}A_{y}-\partial_{y}A_{x}\bigr)\,\mathbf{a}_{z}.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
  1. Componente \mathbf{a}_{x}:
    \partial_{y}A_{z}=0 e \partial_{z}A_{y}=0, logo
\bigl(\partial_{y}A_{z}-\partial_{z}A_{y}\bigr)=0.
  1. Componente \mathbf{a}_{y}:
\partial_{z}A_{x} =\partial_{z}\!\Bigl(3\,x\,y^{2}\,z^{-1}\Bigr) =-3\,x\,y^{2}\,z^{-2}, \quad \partial_{x}A_{z}=0,
então
\bigl(\partial_{z}A_{x}-\partial_{x}A_{z}\bigr) =-\,\frac{3\,x\,y^{2}}{z^{2}}.
  1. Componente \mathbf{a}_{z}:
\partial_{x}A_{y}=0, \quad \partial_{y}A_{x} =\partial_{y}\!\Bigl(3\,x\,y^{2}\,z^{-1}\Bigr) =6\,x\,y\,z^{-1},
logo
\bigl(\partial_{x}A_{y}-\partial_{y}A_{x}\bigr) =-\,\frac{6\,x\,y}{z}.

Passo 5

Reunindo tudo, o rotacional fica
\nabla\times\mathbf{A} =0\;\mathbf{a}_{x} -\frac{3\,x\,y^{2}}{z^{2}}\,\mathbf{a}_{y} -\frac{6\,x\,y}{z}\,\mathbf{a}_{z}.

Resposta

\nabla\times\mathbf{A} =-\frac{3\,x\,y^{2}}{z^{2}}\,\mathbf{a}_{y} -\frac{6\,x\,y}{z}\,\mathbf{a}_{z}.

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