Para a equação de Schrödinger tridimensional (9.75), demonstre o teorema de Ehrenfest
\frac{d}{d t}\langle\hat{\mathbf{p}}\rangle_{\psi}=-\langle\operatorname{grad} V\rangle_{\psi}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na mecânica quântica tridimensional regida pela equação de Schrödinger
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \hat H\psi,
vale o teorema de Ehrenfest
\frac{d}{d t}\langle\hat{\mathbf{p}}\rangle_{\psi}=-\langle\operatorname{grad} V\rangle_{\psi}.
Aqui \hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla é o operador momento e \hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(\mathbf r). Para demonstrar, vamos usar a definição de valor esperado e a forma de evolução temporal de \psi.

Passo 2

Escrevemos a definição de valor esperado de \hat{\mathbf{p}} e calculamos sua derivada temporal:
\langle\hat{\mathbf{p}}\rangle_{\psi} =\int\!d^3r\,\psi^*(\mathbf r,t)\bigl(-i\hbar\nabla\bigr)\psi(\mathbf r,t).
Diferenciando em relação a t obtemos
\frac{d}{dt}\langle\hat{\mathbf{p}}\rangle_{\psi} =\int\!d^3r\Bigl[ \frac{\partial\psi^*}{\partial t}(-i\hbar\nabla)\psi +\psi^*(-i\hbar\nabla)\frac{\partial\psi}{\partial t} \Bigr].

Passo 3

Substituímos \partial_t\psi e \partial_t\psi^* usando a equação de Schrödinger e sua conjugada:
\frac{\partial\psi}{\partial t} =\frac{1}{i\hbar}\hat H\psi, \qquad \frac{\partial\psi^*}{\partial t} =-\frac{1}{i\hbar}\psi^*\hat H.
Logo,
\frac{d}{dt}\langle\hat{\mathbf{p}}\rangle_{\psi} =\int\!d^3r\, \psi^*\frac{1}{i\hbar}\bigl[\hat H,\,(-i\hbar\nabla)\bigr]\psi =\frac{1}{i\hbar}\bigl\langle[\hat{\mathbf{p}},\hat H]\bigr\rangle_{\psi}.

Passo 4

Como \hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(\mathbf r), temos [\hat{\mathbf{p}},\hat p^2]=0 e
[\hat{\mathbf{p}},V(\mathbf r)] =-i\hbar\,\nabla V(\mathbf r).
Portanto
\frac{d}{dt}\langle\hat{\mathbf{p}}\rangle_{\psi} =\frac{1}{i\hbar}\bigl\langle[\hat{\mathbf{p}},V]\bigr\rangle_{\psi} =\frac{1}{i\hbar}\bigl\langle -i\hbar\,\nabla V\bigr\rangle_{\psi} =-\langle\nabla V\rangle_{\psi}.

Resposta

\frac{d}{d t}\langle\hat{\mathbf{p}}\rangle_{\psi} =-\langle\operatorname{grad}V\rangle_{\psi}.

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