Considere um fio reto formado por um cilindro sólido orientado na direção z onde carrega uma densidade de corrente \vec{J} não-uniforme dada pela equação \vec{J}=\frac{2 I_{0}}{\pi a^{2}}\left[1-\left(\frac{r}{a}\right)^{2}\right] \hat{k} \quad r, \vec{J}=0 \quad r>a, onde a=3 \mathrm{~mm}, I_{0}=6 \mathrm{~A}.
(c) Calcule o campo para um raio r=1.5 \mathrm{~mm} [Dê sua resposta em Tesla (T)]

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico de raio a=3\text{ mm}\) com densidade de corrente axial não uniforme \[\vec{J}(r)= \begin{cases} \dfrac{2I_{0}}{\pi a^{2}}\Bigl[1-(r/a)^{2}\Bigr]\,\hat{k},&r\le a,\\\\ 0,&r>a, \end{cases}
onde I_{0}=6\text{ A}\]. Queremos o campo magnético a \(r=1,5\text{ mm}. O método é usar a Lei de Ampère em situações de simetria cilíndrica:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0}I_{\rm int}.

Passo 2

Calculamos a corrente total interna até um raio genérico r\le a por
I_{\rm int}(r)=\int_{0}^{r}J(r')\,2\pi r'\,dr'.
Substituindo J(r')=\frac{2I_{0}}{\pi a^{2}}\bigl[1-(r'/a)^{2}\bigr] vem
I_{\rm int}(r) =\frac{2I_{0}}{\pi a^{2}}\,2\pi\int_{0}^{r}\Bigl[1-\frac{r'^{2}}{a^{2}}\Bigr]r'\,dr' =\;I_{0}\Bigl[2\bigl(\tfrac{r}{a}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{r}{a}\bigr)^{4}\Bigr].

Passo 3

Pela simetria, \vec{B} é azimutal \hat\varphi e constante em |\vec{\ell}|=2\pi r. Assim
B_{\varphi}(r)\,2\pi r=\mu_{0}I_{\rm int}(r) \quad\Longrightarrow\quad B_{\varphi}(r) =\frac{\mu_{0}}{2\pi r}\;I_{\rm int}(r).

Passo 4

Substituindo I_{\rm int}(r)=I_{0}[2(r/a)^{2}-(r/a)^{4}]
B_{\varphi}(r) =\frac{\mu_{0}I_{0}}{2\pi r}\Bigl[2\Bigl(\tfrac{r}{a}\Bigr)^{2}-\Bigl(\tfrac{r}{a}\Bigr)^{4}\Bigr] =\frac{\mu_{0}I_{0}\,r}{2\pi a^{2}}\Bigl[2-\Bigl(\tfrac{r}{a}\Bigr)^{2}\Bigr].

Passo 5

Para r=1{,}5\text{ mm}=a/2 temos \,(r/a)^{2}=1/4 e
2-\Bigl(\tfrac{r}{a}\Bigr)^{2}=2-\tfrac14=\tfrac{7}{4}.
Logo
B_{\varphi}\bigl(a/2\bigr) =\frac{\mu_{0}I_{0}\,(a/2)}{2\pi a^{2}}\;\frac{7}{4} =\frac{\mu_{0}I_{0}}{\pi a}\;\frac{7}{16}.
Numericamente, com \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\text{ H/m}, I_{0}=6\text{ A} e a=3\times10^{-3}\text{ m},
B_{\varphi}\bigl(a/2\bigr) \approx3{,}5\times10^{-4}\text{ T}.

Resposta

\vec{B}(r=1{,}5\text{ mm}) =3{,}5\times10^{-4}\,\hat\varphi\;\text{T}.

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