Calcule (não é permitido usar derivadas nos cálculos dos limites):
\lim _{x \longrightarrow 0} \sqrt{x^{3}+x^{2}} \operatorname{sen}^{2}\left(\frac{\pi}{2 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0} \sqrt{x^{3}+x^{2}}\;\sin^{2}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2x}\Bigr).
Estamos lidando com limite de produto de uma raiz algébrica e uma função trigonométrica oscilante. Para resolver sem derivadas, vamos usar a reescrita da raiz e o Teorema do Confronto (ou “sandwich theorem”).

Passo 2

Reescrevemos a parte da raiz:
\sqrt{x^{3}+x^{2}} =\sqrt{x^{2}(x+1)} =|x|\;\sqrt{x+1}.
Como nos interessa x\to 0 (e nesse entorno x+1>0), fica
\sqrt{x^{3}+x^{2}}=|x|\sqrt{x+1}.

Passo 3

Sabemos que para toda entrada real vale
0\le \sin^{2}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2x}\Bigr)\le 1.
Multiplicando essa desigualdade por \sqrt{x^{3}+x^{2}}=|x|\sqrt{x+1}\ge0, obtemos
0 \;\le\; \sqrt{x^{3}+x^{2}}\;\sin^{2}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2x}\Bigr) \;\le\; |x|\sqrt{x+1}.

Passo 4

Como
\lim_{x\to 0}0 = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0}|x|\sqrt{x+1} =\bigl(\lim_{x\to 0}|x|\bigr)\,\sqrt{1} =0,
pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{x\to 0}\sqrt{x^{3}+x^{2}}\;\sin^{2}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2x}\Bigr)=0.

Resposta

0

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