1^{\underline{a}} Questão: Determine o domínio de f(x)=\ln \left(\frac{(x+2)(x-3)}{x \sqrt{x^{2}+1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x)=\ln\!\Bigl(\tfrac{(x+2)(x-3)}{x\sqrt{x^2+1}}\Bigr).
Conteúdo: domínio de logaritmo. Para f(x) estar definido, o argumento do \ln deve ser positivo e não pode haver divisão por zero.

Passo 2

Definimos
g(x)=\frac{(x+2)(x-3)}{x\sqrt{x^2+1}}.
Precisamos de
g(x)>0 \quad\text{e}\quad x\neq0.
Como \sqrt{x^2+1}>0 para todo x, não há restrição adicional além de x\neq0.

Passo 3

A condição g(x)>0 reduz-se a
\frac{(x+2)(x-3)}{x}>0,
pois o fator \sqrt{x^2+1} só contribui positivamente.

Passo 4

Os pontos críticos da desigualdade são x=-2, x=0 e x=3, que dividem a reta em quatro intervalos:
  • Para x<-2: escolha x=-3. Então
    (x+2)(x-3)=(-1)(-6)=6>0 e x<0, logo a razão é negativa. Não satisfaz.
  • Para -2<x<0: escolha x=-1. Então
    (x+2)(x-3)=(1)(-4)=-4<0 e x<0, logo a razão é positiva. Satisfaz.
  • Para 0<x<3: escolha x=1. Então
    (x+2)(x-3)=(3)(-2)=-6<0 e x>0, razão negativa. Não satisfaz.
  • Para x>3: escolha x=4. Então
    (x+2)(x-3)=(6)(1)=6>0 e x>0, razão positiva. Satisfaz.

Resposta

O domínio de f é
(-2,0)\;\cup\;(3,\infty).

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