3^{\underline{a}} Questão: Encontre c, sabendo que c=a / b, e que a função
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x^{2}+4 x+a, & x<-2 \\\ \frac{x^{3}+x^{2}-2 x}{x^{3}+4 x^{2}+x-6}, & -2 \leq x<1 \\\ \frac{x^{2}-5}{b}, & x \geq 1 \end{array}\right.
é contínua em x=-2 e x=1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}+4x+a, & x<-2,\\\ \dfrac{x^{3}+x^{2}-2x}{x^{3}+4x^{2}+x-6}, & -2\le x<1,\\\ \dfrac{x^{2}-5}{b}, & x\ge1, \end{cases}
e pede para encontrar c=a/b sabendo que f é contínua em x=-2 e x=1. Vamos usar as definições de limite para garantir continuidade nas fronteiras dos trechos.

Passo 2

Para x=-2, precisamos que
\lim_{x\to(-2)^-}f(x)=\lim_{x\to(-2)^+}f(x).
À esquerda,
\lim_{x\to(-2)^-}f(x)=(-2)^{2}+4(-2)+a=4-8+a=a-4.
À direita, o trecho é uma indeterminação 0/0 em x=-2. Fatoramos numerador e denominador:
x^{3}+x^{2}-2x = x(x-1)(x+2),
x^{3}+4x^{2}+x-6 = (x-1)(x+2)(x+3).
Cancelando (x-1)(x+2), para x\neq -2 fica
\frac{x}{x+3},
logo
\lim_{x\to(-2)^+}f(x)=\frac{-2}{-2+3}=-2.
Igualando a-4=-2 a=2.

Passo 3

Para x=1, igualamos
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x).
Do trecho do meio, após cancelamento temos \frac{x}{x+3}, então
\lim_{x\to1^-}f(x)=\frac{1}{1+3}=\tfrac14.
À direita,
\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)=\frac{1^{2}-5}{b}=\frac{-4}{b}.
Igualando \tfrac14=-4/b resulta em
b=-16.

Passo 4

Agora a=2 e b=-16, então
c=\frac{a}{b}=\frac{2}{-16}=-\frac18.

Resposta

-\tfrac18

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