Calcule o negativo do gradiente da energia potencial U(r)=k r^3. Qual é o significado do resultado?

Passo 1

O enunciado pede para calcular o negativo do gradiente de uma energia potencial radial definida por U®=k r³. O conteúdo aqui é cálculo vetorial (gradiente) para funções que dependem só da distância r, e vamos precisar usar a definição de ∇U para função radial: ∇U=(dU/dr) ê_r.

Passo 2

Primeiro derivamos U em relação a r. Como U®=k r³, temos
dUdr=3k,r^2

Passo 3

Em seguida aplicamos a fórmula do gradiente para função radial. Só depende de r, então
nabla U=dUdr,r=3k,r^2,r

Passo 4

Agora basta introduzir o sinal negativo: o campo de força associado a essa energia potencial é
-nabla U=-3k,r^2,r
Esse vetor é exatamente a força que atua radialmente. Se k>0, a força aponta para o centro (é atraente); se k<0, aponta para fora (é repulsiva).

Resposta

-\nabla U=-3k,r^2,\hat{r}, que corresponde à força radial derivada do potencial (atrativa se k>0 e repulsiva se k<0).

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