Questão 1. Considere a função
f(x)=|x| .
(a) Calcule a derivada lateral esquerda f_{-}^{\prime}(0).
(b) Calcule a derivada lateral direita f_{+}^{\prime}(0).
(c) Existe a derivada f^{\prime}(0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=|x|
e pede três coisas:
(a) Calcular a derivada lateral esquerda \,f_{-}^{\prime}(0).
(b) Calcular a derivada lateral direita \,f_{+}^{\prime}(0).
(c) Dizer se existe a derivada \,f^{\prime}(0) e justificar.
Informações relevantes fornecidas:
f(x)=|x|\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Definições importantes (vamos entendê-las bem, porque são as ferramentas que usaremos):
Definição da derivada em um ponto a:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe. Aqui h é um número pequeno que aproxima 0; a expressão dentro do limite é o coeficiente angular médio entre os pontos (a,f(a)) e (a+h,f(a+h)).
Definições das derivadas laterais em a:
derivada lateral direita
f_{+}'(a)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
derivada lateral esquerda
f_{-}'(a)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
A derivada f'(a) existe se, e somente se, os dois limites acima existirem e forem iguais.
Vou usar essas definições em a=0.

Passo 3

Escrevemos |x|\) de forma peça a peça (isso facilita muito): \[f(x)=|x|=\begin{cases} -x, & x<0,\\[4pt] 0, & x=0,\\[4pt] x, & x>0. \end{cases}
Essa forma é óbvia: para x\] negativo, o valor absoluto vira \(-x (positivo); para x positivo, |x|=x; em 0 vale 0.]

Passo 4

Cálculo da derivada lateral esquerda \,f_{-}^{\prime}(0).
Usamos a definição com h\to 0^-:
f_{-}'(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Para h<0 (pequeno negativo), temos 0+h<0, então pela forma peça a peça f(0+h)=-(0+h)=-h. Também f(0)=0. Assim o quociente fica
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{-h-0}{h}=\frac{-h}{h}=-1\quad\text{para todo }h<0,\,h\neq 0.
Como esse valor é exatamente -1 independentemente de quão pequeno seja h<0, o limite é
f_{-}'(0)=\lim_{h\to 0^-}(-1)=-1.
Explicando em palavras: ao aproximar-se de 0 pela esquerda, o gráfico é a reta y=-x que tem inclinação -1, então a derivada lateral esquerda é -1.

Passo 5

Cálculo da derivada lateral direita \,f_{+}^{\prime}(0).
Usamos a definição com h\to 0^+:
f_{+}'(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Para h>0 pequeno, 0+h>0, então f(0+h)=0+h=h (pela forma peça a peça) e f(0)=0. O quociente é
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{h-0}{h}=\frac{h}{h}=1\quad\text{para todo }h>0,\,h\neq 0.
Logo o limite é
f_{+}'(0)=\lim_{h\to 0^+}1=1.
Em palavras: ao aproximar-se de 0 pela direita, o gráfico é a reta y=x com inclinação +1, então a derivada lateral direita é +1.

Passo 6

Decisão sobre existência da derivada \,f^{\prime}(0).
Lembrando: a derivada \,f'(0) existe se, e somente se, \,f_{-}'(0)=f_{+}'(0). Aqui encontramos
f_{-}'(0)=-1\quad\text{e}\quad f_{+}'(0)=1.
Como -1\neq 1, os dois limites laterais são diferentes. Portanto o limite total
\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
não existe. Em termos intuitivos, o gráfico de |x| tem uma “quina” (um V) em 0: a inclinação à esquerda é -1 e à direita é +1, não dá para definir uma única tangente com um único valor de inclinação.
Observação útil: apesar de não ser diferenciável em 0, a função |x| é contínua em 0 (porque os valores à esquerda e à direita tendem a 0), então continuidade não garante diferenciabilidade.

Resposta

(a) f_{-}^{\prime}(0)=-1
(b) f_{+}^{\prime}(0)=1
(c) \,f^{\prime}(0) não existe.

Exercícios relacionados