Questão 1. Considere a função
(a) Calcule a derivada lateral esquerda
.
(b) Calcule a derivada lateral direita
.
(c) Existe a derivada
? Justifique.
(b) Calcule a derivada lateral direita
(c) Existe a derivada
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
(a) Calcular a derivada lateral esquerda .
(b) Calcular a derivada lateral direita .
(c) Dizer se existe a derivada e justificar.
(a) Calcular a derivada lateral esquerda
(b) Calcular a derivada lateral direita
(c) Dizer se existe a derivada
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Definições importantes (vamos entendê-las bem, porque são as ferramentas que usaremos):
Definição da derivada em um ponto
:
quando esse limite existe. Aqui
é um número pequeno que aproxima
; a expressão dentro do limite é o coeficiente angular médio entre os pontos
e
.
Definições das derivadas laterais em
:
derivada lateral direita
derivada lateral direita
derivada lateral esquerda
A derivada
existe se, e somente se, os dois limites acima existirem e forem iguais.
Vou usar essas definições em
.
Passo 3
Escrevemos
Essa forma é óbvia: para
(positivo); para
positivo,
; em
vale
.]
Passo 4
Cálculo da derivada lateral esquerda
.
Usamos a definição com
:
Para
(pequeno negativo), temos
, então pela forma peça a peça
. Também
. Assim o quociente fica
Como esse valor é exatamente
independentemente de quão pequeno seja
, o limite é
Explicando em palavras: ao aproximar-se de
pela esquerda, o gráfico é a reta
que tem inclinação
, então a derivada lateral esquerda é
.
Passo 5
Cálculo da derivada lateral direita
.
Usamos a definição com
:
Para
pequeno,
, então
(pela forma peça a peça) e
. O quociente é
Logo o limite é
Em palavras: ao aproximar-se de
pela direita, o gráfico é a reta
com inclinação
, então a derivada lateral direita é
.
Passo 6
Decisão sobre existência da derivada
.
Lembrando: a derivada
existe se, e somente se,
. Aqui encontramos
Como
, os dois limites laterais são diferentes. Portanto o limite total
não existe. Em termos intuitivos, o gráfico de
tem uma “quina” (um V) em
: a inclinação à esquerda é
e à direita é
, não dá para definir uma única tangente com um único valor de inclinação.
Observação útil: apesar de não ser diferenciável em
, a função
é contínua em
(porque os valores à esquerda e à direita tendem a
), então continuidade não garante diferenciabilidade.
Resposta
(a)
(b)
(c) não existe.
(b)
(c)