( 2,5 \mathrm{pts} ) Calcule a integral dupla \iint_{D} x^{2} y d \lambda onde D e a regiâo limitada pelas curvas y=x, x=0 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{D} x^{2}y\,d\lambda onde D é a região limitada pelas curvas y=x, x=0 e y=1. Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A integranda é x^{2}y.
  • As curvas que limitam D são y=x, x=0 e y=1.
  • Os pontos de interseção das curvas são: y=x com x=0 em (0,0); y=x com y=1 em (1,1); x=0 com y=1 em (0,1).
  • Portanto D é o triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (1,1).
    A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Descrever a região D por desigualdades para poder montar a integral iterada. Observando o triângulo com vértices (0,0),(0,1),(1,1):
  • Para um dado y fixo entre 0 e 1, o x varia entre a reta esquerda x=0 e a reta direita x=y.
    Logo podemos escrever D como
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le y\le 1\}.
Isso significa que uma ordem conveniente de integração é primeiro em x (de 0 a y) e depois em y (de 0 a 1).

Passo 3

Justificativa teórica (mini-aula): usamos a ideia de integração iterada (Teorema de Fubini em versão para funções contínuas em regiões simples).
  • Se f(x,y) é contínua em uma região limitada e bem comportada como D, então
\iint_{D} f(x,y)\,d\lambda = \int_{y=a}^{b}\left(\int_{x=g_1(y)}^{g_2(y)} f(x,y)\,dx\right)dy,
onde g_1(y) e g_2(y) são as curvas que dão as fronteiras em x para cada y.
  • Aqui f(x,y)=x^{2}y é um polinômio (logo contínuo), então podemos aplicar essa fórmula com g_1(y)=0, g_2(y)=y, a=0, b=1.

Passo 4

Escrever a integral iterada correspondente:
\iint_{D} x^{2}y\,d\lambda = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{y} x^{2}y\,dx\right)dy.
Observação sobre variáveis: na integral interna integrarmos em x, portanto tratamos y como constante naquele passo.

Passo 5

Calcular a integral interna em x. Para integrarmos \int_{0}^{y} x^{2}y\,dx:
  • Tratar y como constante e usar a primitiva de x^{2}, que é x^{3}/3.
  • Logo uma primitiva em relação a x é y\cdot \dfrac{x^{3}}{3}.
    Avaliar entre x=0 e x=y:
\int_{0}^{y} x^{2}y\,dx = \left. y\cdot \frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{y} = y\cdot\frac{y^{3}}{3} - y\cdot\frac{0^{3}}{3} = \frac{y^{4}}{3}.

Passo 6

Agora calcular a integral externa em y:
\int_{0}^{1} \frac{y^{4}}{3}\,dy = \frac{1}{3}\int_{0}^{1} y^{4}\,dy.
A primitiva de y^{4} é y^{5}/5. Portanto
\frac{1}{3}\int_{0}^{1} y^{4}\,dy = \frac{1}{3}\left.\frac{y^{5}}{5}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5} = \frac{1}{15}.

Passo 7

Verificação rápida (dica para prova): poderíamos trocar a ordem de integração sem mudar o resultado. Se integrássemos primeiro em y, teríamos x variando de 0 a 1 e, para cada x, y variando de x a 1:
\int_{0}^{1}\left(\int_{x}^{1} x^{2}y\,dy\right)dx,
que também leva a \dfrac{1}{15} após calcular. Isso é um bom check rápido se der dúvida.

Resposta

\dfrac{1}{15}

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