( 2,5 \mathrm{pts} ) Calcule a integral dupla \iint_{D} x^{2} y d \lambda onde D e a regiâo limitada pelas curvas y=x, x=0 e y=1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{D} x^{2}y\,d\lambda onde D é a região limitada pelas curvas y=x, x=0 e y=1. Informações importantes dadas pelo enunciado:
A integranda é x^{2}y.
As curvas que limitam D são y=x, x=0 e y=1.
Os pontos de interseção das curvas são: y=x com x=0 em (0,0); y=x com y=1 em (1,1); x=0 com y=1 em (0,1).
Portanto D é o triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (1,1).
A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Descrever a região D por desigualdades para poder montar a integral iterada. Observando o triângulo com vértices (0,0),(0,1),(1,1):
Para um dado y fixo entre 0 e 1, o x varia entre a reta esquerda x=0 e a reta direita x=y.
Logo podemos escrever D como
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le y\le 1\}.
Isso significa que uma ordem conveniente de integração é primeiro em x (de 0 a y) e depois em y (de 0 a 1).
Passo 3
Justificativa teórica (mini-aula): usamos a ideia de integração iterada (Teorema de Fubini em versão para funções contínuas em regiões simples).
Se f(x,y) é contínua em uma região limitada e bem comportada como D, então
Verificação rápida (dica para prova): poderíamos trocar a ordem de integração sem mudar o resultado. Se integrássemos primeiro em y, teríamos x variando de 0 a 1 e, para cada x, y variando de x a 1: