Calcule a norma do campo vetorial F(rho, theta, z)=rho rho+rho sin theta theta-z theta k, em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial em coordenadas cilíndricas
F(rho,theta,z)=rho,rho+rhosintheta,theta-ztheta,k
e pede a norma de F.
Conteúdo envolvido: bases ortonormais em coordenadas cilíndricas e cálculo da magnitude de um vetor.

Passo 2

Em qualquer base ortonormal (aqui rho,theta,k são ortonormais), a norma de
F=Frho,rho+Ftheta,theta+Fk,k
é dada por
|F|=raizFrho^2+Ftheta^2+Fk^2
Aqui Frho=rho, Ftheta=rhosintheta e Fk=-ztheta.

Passo 3

Substituindo na fórmula:
|F| =raizl(rhor)^2+l(rhosinthetar)^2+l(-zthetar)^2 =raizrho^2+rho^2sin^2theta+z^2theta^2 =raizrho^2l(1+sin^2thetar)+z^2theta^2

Resposta

|F(rho,theta,z)| =raizrho^2l(1+sin^2thetar)+z^2theta^2

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