1. sumk=1^infty senh k-cosh kk

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S = sumk=1^infty sinh k - cosh kk
O conteúdo necessário envolve a representação das funções hiperbólicas em termos de exponenciais e a conhecida série de potências
sumk=1^inftyx^kk = -ln(1-x), |x|<1

Passo 2

Usamos as definições
sinh k = e^k - e^-k2, cosh k = e^k + e^-k2,
para reescrever o numerador da fração.

Passo 3

Calculamos
sinh k - cosh k = e^k - e^-k2 - e^k + e^-k2 = e^k - e^-k - e^k - e^-k2 = -,e^-k
Portanto
sinh k - cosh kk = -,e^-kk

Passo 4

A soma original fica
S = sumk=1^infty l(-e^-kkr) = -sumk=1^infty(e^-1)^kk

Passo 5

Aplicamos a série de potências com x = e^-1 (note que lvert e^-1rvert<1):
sumk=1^infty(e^-1)^kk = -lnl(1-e^-1r)
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S = -l[-lnl(1-e^-1r)r] = lnl(1-e^-1r)

Resposta

lnl(1-e^-1r)

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