Calcule a norma do polinômio de Legendre P_{4}(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a norma do polinômio de Legendre P_{4}(x) no espaço de funções com produto interno
\langle f,g\rangle = \int_{-1}^{1} f(x)\,g(x)\,dx.
O conteúdo aqui é a ortogonalidade e a norma em L^{2}([-1,1]) dos polinômios de Legendre.

Passo 2

Lembramos que os polinômios de Legendre satisfazem
\int_{-1}^{1} P_{n}(x)\,P_{m}(x)\,dx = 0 \quad\text{se }n\neq m,
e
\int_{-1}^{1} \bigl[P_{n}(x)\bigr]^{2}dx = \frac{2}{2n+1}.
Essa fórmula decorre da definição via fórmula de Rodrigues e da ortogonalidade padrão em [-1,1].

Passo 3

Para n=4 temos
\int_{-1}^{1} \bigl[P_{4}(x)\bigr]^{2}dx \;=\;\frac{2}{2\cdot 4 + 1} \;=\;\frac{2}{9}.

Passo 4

A norma em L^{2} é dada por
\|P_{4}\| \;=\;\sqrt{\langle P_{4},P_{4}\rangle} \;=\;\sqrt{\int_{-1}^{1}\bigl[P_{4}(x)\bigr]^{2}dx} \;=\;\sqrt{\frac{2}{9}} \;=\;\frac{\sqrt{2}}{3}.

Resposta

A norma do polinômio P_{4}(x) é
\|P_{4}\| = \frac{\sqrt{2}}{3}.

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