1.3 (a) Considere dois kets |\alpha\rangle e |b\rangle. Suponha que \left\langle a^{\prime} \mid \alpha\right\rangle,\left\langle a^{\prime \prime} \mid \alpha\right\rangle, \ldots e \left\langle a^{\prime} \mid \beta\right\rangle,\left\langle a^{\prime \prime} \mid \alpha\right\rangle, \ldots sejam todos conhecidos, onde \left|a^{\prime}\right\rangle,\left|a^{\prime \prime}\right\rangle, \ldots formam um conjunto completo de kets de base. Ache a representação matricial do operador |\alpha\rangle\langle\beta| nesta base.
(b) Consideramos agora um sistema de spin \frac{1}{2} e sejam |\alpha\rangle e |\beta\rangle os kets \left|s_{z}=\hbar / 2\right\rangle e \mid s_{x}= \hbar / 2\}, respectivamente. Escreva explicitamente a matriz quadrada que corresponde ao operador |\alpha\rangle\langle\beta| na base usual ( s_{z} diagonal).

Passo 1

O enunciado pede a representação matricial do operador |\alpha\rangle\langle\beta| numa base completa \{\ket{a_n}\}, sabendo-se os coeficientes \langle a_n|\alpha\rangle e \langle a_n|\beta\rangle. O conteúdo é operadores em mecânica quântica e sua forma matricial em uma base.

Passo 2

Em qualquer base \{\ket{a_n}\}, o elemento de matriz do operador \hat O=|\alpha\rangle\langle\beta| é
O_{mn}=\langle a_m|\hat O|a_n\rangle =\langle a_m|\alpha\rangle\,\langle\beta|a_n\rangle.
Em notação de vetores-coluna, se \alpha_m=\langle a_m|\alpha\rangle e \beta_n=\langle a_n|\beta\rangle, então
\bigl[\,|\alpha\rangle\langle\beta|\,\bigr] =\bigl(\alpha_m\bigr)\bigl(\beta_n^*\bigr)^{\!T},
ou seja, a matriz é o produto do vetor-coluna de \alpha pelo vetor-linha conjugado de \beta.

Passo 3

Para spin 1/2, escolhemos a base usual de S_z diagonal:
\ket{+}\equiv\ket{s_z=+\hbar/2}=(1,0)^T,\qquad \ket{-}\equiv\ket{s_z=-\hbar/2}=(0,1)^T.
Aqui \ket{\alpha}=\ket{+}. O estado \ket{\beta}=\ket{s_x=+\hbar/2} na base S_z vale
\ket{\beta} =\frac1{\sqrt2}\bigl(\ket{+}+\ket{-}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \beta_+=\frac1{\sqrt2},\;\beta_-=\frac1{\sqrt2}.

Passo 4

Agora montamos a matriz M_{mn}=\langle m|\alpha\rangle\langle\beta|n\rangle. Como \langle +|\alpha\rangle=1 e \langle -|\alpha\rangle=0, e \langle\beta|+\rangle=\frac1{\sqrt2}, \langle\beta|-\rangle=\frac1{\sqrt2}, obtemos
M_{+,+}=1\cdot\frac1{\sqrt2}=\frac1{\sqrt2},\quad M_{+,-}=1\cdot\frac1{\sqrt2}=\frac1{\sqrt2},
M_{-,+}=0\cdot\frac1{\sqrt2}=0,\quad M_{-,-}=0\cdot\frac1{\sqrt2}=0.
Portanto, na base \{\ket{+},\ket{-}\},
|\alpha\rangle\langle\beta| =\begin{pmatrix} \frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt2}\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}

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