. Seja
e considere a relação
,
.
Mostre que
é uma relação de equivalência e descreva as classes de equivalência de cada elemento de A
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e a relação
Queremos mostrar que
é relação de equivalência, ou seja, que é reflexiva, simétrica e transitiva, e então determinar para cada
a classe de equivalência
.
Passo 2
Verificação da reflexividade. Uma relação
em
é reflexiva se
No nosso caso temos explicitamente
, logo
vale
. Portanto
é reflexiva.
Passo 3
Verificação da simetria. Uma relação
em
é simétrica se
Em
além dos pares reflexivos, aparecem os pares
e
, bem como
e
. Para cada um desses pares não reflexivos a inversa está presente em
. Logo
é simétrica.
Passo 4
Verificação da transitividade. Uma relação
é transitiva se
Os casos não-triviais envolvem as classes
e
. Por exemplo, tomando
, temos
e
, e de fato
. Todos os outros encadeamentos (como
e
, ou
e
, etc.) levam a pares que estão listados em
. Além disso não existem pares que misturem
com
, de modo que não há falhas de transitividade entre essas duas “partes”. Portanto
é transitiva.
Passo 5
Como
é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que
é relação de equivalência. Agora, para cada
, a classe de equivalência
é o conjunto de todos os elementos de
que estão relacionados a
. Observamos que há exatamente duas classes não-triviais:
Resposta
As classes de equivalência são
e .
e