. Seja A=\{1,2,3,4\} e considere a relação R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1), (3,4),(4,3)\}.
Mostre que R é uma relação de equivalência e descreva as classes de equivalência de cada elemento de A

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
A = \{1,2,3,4\}
e a relação
R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}.
Queremos mostrar que R é relação de equivalência, ou seja, que é reflexiva, simétrica e transitiva, e então determinar para cada x\in A a classe de equivalência [x].

Passo 2

Verificação da reflexividade. Uma relação R em A é reflexiva se
\forall x\in A,\;(x,x)\in R.
No nosso caso temos explicitamente (1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\in R, logo \forall x\in\{1,2,3,4\} vale (x,x)\in R. Portanto R é reflexiva.

Passo 3

Verificação da simetria. Uma relação R em A é simétrica se
\forall (a,b)\in R,\;(b,a)\in R.
Em R além dos pares reflexivos, aparecem os pares (1,2) e (2,1), bem como (3,4) e (4,3). Para cada um desses pares não reflexivos a inversa está presente em R. Logo R é simétrica.

Passo 4

Verificação da transitividade. Uma relação R é transitiva se
\text{sempre que }(a,b)\in R\text{ e }(b,c)\in R,\text{ então }(a,c)\in R.ã
Os casos não-triviais envolvem as classes \{1,2\} e \{3,4\}. Por exemplo, tomando a=1,b=2,c=1, temos (1,2)\in R e (2,1)\in R, e de fato (1,1)\in R. Todos os outros encadeamentos (como (1,2) e (2,2), ou (3,4) e (4,3), etc.) levam a pares que estão listados em R. Além disso não existem pares que misturem \{1,2\} com \{3,4\}, de modo que não há falhas de transitividade entre essas duas “partes”. Portanto R é transitiva.

Passo 5

Como R é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que R é relação de equivalência. Agora, para cada x\in A, a classe de equivalência [x] é o conjunto de todos os elementos de A que estão relacionados a x. Observamos que há exatamente duas classes não-triviais:
[1] = \{\,y\in A \mid (1,y)\in R\} = \{1,2\},
[2] = \{\,y\in A \mid (2,y)\in R\} = \{1,2\},
[3] = \{\,y\in A \mid (3,y)\in R\} = \{3,4\},
[4] = \{\,y\in A \mid (4,y)\in R\} = \{3,4\}.

Resposta

As classes de equivalência são [1]=[2]=\{1,2\}
e [3]=[4]=\{3,4\}.

Exercícios relacionados