Discuta a ortogonalidade dos polinômios de Legendre
e
no intervalo
Passo 1
O enunciado pede para discutir a ortogonalidade dos polinômios de Legendre
e
no intervalo
. O conteúdo aqui é a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre, que diz que, para
,
Para confirmar isso no caso de
e
, vamos escrever explicitamente
e
, formar o produto e calcular a integral.
Passo 2
Os dois primeiros polinômios de Legendre são dados por fórmulas fechadas:
Passo 3
Para verificar a ortogonalidade, consideramos a integral
Passo 4
Primeiro multiplicamos os polinômios:
Passo 5
Note que cada termo da soma
,
e
é uma função ímpar, pois satisfaz
. Em um intervalo simétrico
, a integral de qualquer função ímpar é zero. Logo,
Resposta
Os polinômios
e
são ortogonais em
porque