Discuta a ortogonalidade dos polinômios de Legendre P_{2}(x) e P_{3}(x) no intervalo [-1,1]

Passo 1

O enunciado pede para discutir a ortogonalidade dos polinômios de Legendre P_{2}(x) e P_{3}(x) no intervalo [-1,1]. O conteúdo aqui é a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre, que diz que, para n\neq m,
\int_{-1}^{1}P_{n}(x)\,P_{m}(x)\,dx = 0.
Para confirmar isso no caso de n=2 e m=3, vamos escrever explicitamente P_{2} e P_{3}, formar o produto e calcular a integral.

Passo 2

Os dois primeiros polinômios de Legendre são dados por fórmulas fechadas:
P_{2}(x)=\frac{1}{2}\bigl(3x^{2}-1\bigr), \qquad P_{3}(x)=\frac{1}{2}\bigl(5x^{3}-3x\bigr).

Passo 3

Para verificar a ortogonalidade, consideramos a integral
\int_{-1}^{1}P_{2}(x)\,P_{3}(x)\,dx.

Passo 4

Primeiro multiplicamos os polinômios:
P_{2}(x)\,P_{3}(x) =\frac{1}{2}\bigl(3x^{2}-1\bigr)\cdot\frac{1}{2}\bigl(5x^{3}-3x\bigr) =\frac{1}{4}\bigl(15x^{5}-14x^{3}+3x\bigr).

Passo 5

Note que cada termo da soma 15x^{5}, -14x^{3} e 3x é uma função ímpar, pois satisfaz f(-x)=-f(x). Em um intervalo simétrico [-1,1], a integral de qualquer função ímpar é zero. Logo,
\int_{-1}^{1}P_{2}(x)\,P_{3}(x)\,dx =\frac{1}{4}\int_{-1}^{1}\bigl(15x^{5}-14x^{3}+3x\bigr)\,dx =0.

Resposta

Os polinômios P_{2} e P_{3} são ortogonais em [-1,1] porque
\int_{-1}^{1}P_{2}(x)\,P_{3}(x)\,dx=0.

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