Mostre que os polinômios P_{4}(x)=\frac{1}{8}\left(35 x^{4}-30 x^{2}+3\right) e P_{5}(x)=\frac{1}{8}\left(63 x^{5}-70 x^{3}+15 x\right) satisfaz a equação de Legendre para m=4 e m=5, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os polinômios
P_{4}(x)=\frac{1}{8}\bigl(35x^{4}-30x^{2}+3\bigr) \quad\text{e}\quad P_{5}(x)=\frac{1}{8}\bigl(63x^{5}-70x^{3}+15x\bigr)
satisfazem a equação de Legendre
(1 - x^2)\,y'' - 2x\,y' + m(m+1)\,y = 0
para m=4 e m=5. A ideia é calcular P_m' e P_m'', substituir na equação e verificar que o resultado é zero.

Passo 2

A equação de Legendre é
(1 - x^2)\,y'' - 2x\,y' + m(m+1)\,y = 0.
Aqui, para cada m vamos tomar y=P_m(x), achar as derivadas e mostrar que
(1 - x^2)P_m''(x) - 2x\,P_m'(x) + m(m+1)P_m(x)=0.

Passo 3

Para m=4,
P_{4}(x)=\tfrac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3).
Calculamos as derivadas:
P_{4}'(x)=\tfrac{1}{8}\bigl(140x^{3}-60x\bigr) =\frac{35x^{3}-15x}{2},
P_{4}''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{35x^{3}-15x}{2}\Bigr) =\frac{105x^{2}-15}{2}.

Passo 4

Substituindo em (1 - x^2)P_4''-2xP_4'+4\cdot5\,P_4:
(1 - x^2)\frac{105x^{2}-15}{2} -2x\frac{35x^{3}-15x}{2} +20\cdot\frac{35x^{4}-30x^{2}+3}{8}.
Colocando tudo sobre denominador comum 8 e somando os numeradores, obtemos
\bigl(-1260x^{4}+1680x^{2}-420\bigr) +\bigl(-630x^{4}+420x^{2}-30\bigr) +\bigl(1750x^{4}-1500x^{2}+150\bigr) =0.
Logo P_{4} satisfaz a equação de Legendre para m=4.

Passo 5

Para m=5,
P_{5}(x)=\tfrac{1}{8}(63x^{5}-70x^{3}+15x).
As derivadas são
P_{5}'(x)=\tfrac{1}{8}(315x^{4}-210x^{2}+15),
P_{5}''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{315x^{4}-210x^{2}+15}{8}\Bigr) =\frac{315x^{3}-105x}{2}.

Passo 6

Substituindo em (1 - x^2)P_5''-2xP_5'+5\cdot6\,P_5:
(1 - x^2)\frac{315x^{3}-105x}{2} -2x\frac{315x^{4}-210x^{2}+15}{8} +30\cdot\frac{63x^{5}-70x^{3}+15x}{8}.
Reunindo sobre denominador 8 e somando os numeradores dá
(-1260x^{5}+1680x^{3}-420x) +(-630x^{5}+420x^{3}-30x) +(1890x^{5}-2100x^{3}+450x) =0.
Portanto P_{5} satisfaz a equação de Legendre para m=5.

Resposta

Ambos os polinômios P_{4}(x) e P_{5}(x) satisfazem a equação de Legendre para m=4 e m=5, respectivamente.

Exercícios relacionados