Mostre que os polinômios
e
satisfaz a equação de Legendre para
e
, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os polinômios
satisfazem a equação de Legendre
para
e
. A ideia é calcular
e
, substituir na equação e verificar que o resultado é zero.
Passo 2
A equação de Legendre é
Aqui, para cada
vamos tomar
, achar as derivadas e mostrar que
Passo 3
Para
,
Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo em
:
Colocando tudo sobre denominador comum
e somando os numeradores, obtemos
Logo
satisfaz a equação de Legendre para
.
Passo 5
Para
,
As derivadas são
Passo 6
Substituindo em
:
Reunindo sobre denominador
e somando os numeradores dá
Portanto
satisfaz a equação de Legendre para
.
Resposta
Ambos os polinômios
e
satisfazem a equação de Legendre para
e
, respectivamente.