Dados os vetores u=(-2,1,-2), v=(1,2,1) e w=(-3,2,0)
Encontre os números a1, a2 e a3 tais que a1 u+a2 v+a3 w=(2,-3,1)

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=(-2,1,-2), v=(1,2,1) e w=(-3,2,0)
e pede a1,a2,a3 tais que
a1u+a2v+a3w = (2,-3,1)
Isso gera um sistema linear de três equações com três incógnitas, que vamos resolver por eliminação.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, obtemos
-2a1 + a2 - 3a3 = 2,
-a1 +2a2 +2a3 = -3,
-2a1 + a2 +0cdot a3 = 1

Passo 3

Da terceira equação isolamos a2:
-2a1+a2=1 Longrightarrow a2=1+2a1

Passo 4

Substituindo a2=1+2a1 na primeira equação, vem
-2a1 + (1+2a1) -3a3 = 2 Longrightarrow 1 -3a3=2 Longrightarrow a3=-tfrac13

Passo 5

Agora substituímos a2=1+2a1 e a3=-tfrac13 na segunda equação:
a1+2(1+2a1)+2l(-tfrac13r)=-3 Longrightarrow 5a1 + tfrac43 = -3 Longrightarrow a1=-tfrac1315

Passo 6

Finalmente, voltamos em a2=1+2a1:
a2 = 1 + 2l(-tfrac1315r) = 1 - tfrac2615 = -tfrac1115

Resposta

a1 = -tfrac1315, a2 = -tfrac1115, a3 = -tfrac13

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