Verifique quais das seguintes funçōes sāo Transformaçōes Lineares:
H: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} com H(x, y)=x-y.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
H\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \quad H(x,y)=x-y
é uma transformação linear.
Conteúdo: definição de transformação linear (aplicação que preserva soma de vetores e multiplicação escalar).
Vamos checar as duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificação da aditividade: sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) em \mathbb{R}^2.
H(u+v)=H\bigl((x_1+x_2,\;y_1+y_2)\bigr) =(x_1+x_2)-(y_1+y_2) =x_1-y_1 + x_2-y_2 =H(u)+H(v).
Logo, H(u+v)=H(u)+H(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade: seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y).
H(\alpha u)=H\bigl(\alpha x,\;\alpha y\bigr) =\alpha x - \alpha y =\alpha\,(x-y) =\alpha\,H(u).
Logo, H(\alpha u)=\alpha\,H(u).

Passo 4

Como H satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que é transformação linear.

Resposta

A função H(x,y)=x-y é uma transformação linear.

Exercícios relacionados