Verifique quais das seguintes funçōes sāo Transformaçōes Lineares:
T: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} com T(x)=(2 x, 0, x+2).

Passo 1

O enunciado dá a transformação
T\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3,\quad T(x)=(2x,\,0,\,x+2)
e pede para verificar se T é linear. Lembrando que T é linear se, para todos x,y\in\mathbb{R} e todo escalar c, valem
T(x+y)=T(x)+T(y) \qquad\text{e}\qquad T(c\,x)=c\,T(x),
o que implica em particular que
T(0)=(0,0,0).

Passo 2

Calculemos T(0):
T(0) = (2\cdot 0,\,0,\,0+2) = (0,0,2).
Como T(0)\neq(0,0,0), já vemos que T não envia o vetor zero para o zero, o que invalida a linearidade.

Passo 3

Para confirmar, confira também a soma:
T(x+y) = (2(x+y),\,0,\,x+y+2) = (2x+2y,\,0,\,x+y+2),
enquanto
T(x)+T(y) = (2x,0,x+2)+(2y,0,y+2) = (2x+2y,\,0,\,x+y+4).
Como as terceiras coordenadas diferem x+y+2 versus x+y+4, a aditividade falha.

Resposta

A transformação T não é linear.

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