Encontre uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow M_{2 \times 2} tal que T(1,0,1)=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right), T(-1,-1,0)=\left(\begin{array}{cc}-3 & 2 \\\\ 4 & 5\end{array}\right) e T(-1,-1,-1)=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 0 & -3\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to M_{2\times2} que manda três vetores em matrizes dadas. Para construí-la, escolhemos a base canônica de \mathbb{R}^3,
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1),
e definimos
A=T(e_1),\quad B=T(e_2),\quad C=T(e_3).
Então basta resolver um sistema linear para A,B,C.