Encontre uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow M_{2 \times 2} tal que T(1,0,1)=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right), T(-1,-1,0)=\left(\begin{array}{cc}-3 & 2 \\\\ 4 & 5\end{array}\right) e T(-1,-1,-1)=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 0 & -3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to M_{2\times2} que manda três vetores em matrizes dadas. Para construí-la, escolhemos a base canônica de \mathbb{R}^3,
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1),
e definimos
A=T(e_1),\quad B=T(e_2),\quad C=T(e_3).
Então basta resolver um sistema linear para A,B,C.

Passo 2

Traduzimos as condições em equações matriciais:
T(1,0,1)=A+C =\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},
T(-1,-1,0)=-A - B =\begin{pmatrix}-3&2\\\ 4&5\end{pmatrix},
T(-1,-1,-1)=-A - B - C =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&-3\end{pmatrix}.

Passo 3

Da segunda equação vem
A+B =-\begin{pmatrix}-3&2\\\ 4&5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&-2\\\ -4&-5\end{pmatrix},
e da terceira
A+B+C =-\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&3\end{pmatrix}.
Subtraindo estas duas, obtemos
C =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}3&-2\\\ -4&-5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3&2\\\ 4&8\end{pmatrix}.

Passo 4

Usando A+C=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, temos
A =\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-3&2\\\ 4&8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4&-2\\\ -4&-7\end{pmatrix}.
E de A+B=\begin{pmatrix}3&-2\\\ -4&-5\end{pmatrix} segue
B =\begin{pmatrix}3&-2\\\ -4&-5\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}4&-2\\\ -4&-7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&0\\\ 0&2\end{pmatrix}.

Passo 5

Por linearidade, para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 vale
T(x,y,z) =xA+yB+zC = x\begin{pmatrix}4&-2\\\ -4&-7\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}-1&0\\\ 0&2\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}-3&2\\\ 4&8\end{pmatrix}.

Resposta

T(x,y,z) = x\begin{pmatrix}4&-2\\\ -4&-7\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}-1&0\\\ 0&2\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}-3&2\\\ 4&8\end{pmatrix}.

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