Calcule o núcleo e a imagem das seguintes transformações e verifique se são injetora, sobrejetora ou bijetora.
Passo 1
O enunciado pede o núcleo
e a imagem
da transformação linear
Estamos em conteúdo de espaços vetoriais: para
vamos resolver um sistema homogêneo, e para
vamos analisar os vetores-coluna de
.
Passo 2
Para achar
Da primeira equação temos
, ou seja
, logo
e
.
Portanto
Passo 3
Os vetores-coluna de
são
Logo
Para ver que
é independente, suponha
, isto é
que implica
. São dois vetores independentes em
, então geram todo
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Como
,
é injetora. Como
(o contradomínio),
é sobrejetora. Logo
é bijetora.
Resposta
é bijetora (injetora e sobrejetora).