Calcule o núcleo e a imagem das seguintes transformações e verifique se são injetora, sobrejetora ou bijetora.
T(x, y)=(x-y, x+y)

Passo 1

O enunciado pede o núcleo \Ker(T) e a imagem \Im(T) da transformação linear
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y)=(x-y,\;x+y).
Estamos em conteúdo de espaços vetoriais: para \Ker(T) vamos resolver um sistema homogêneo, e para \Im(T) vamos analisar os vetores-coluna de T.

Passo 2

Para achar \Ker(T)\), resolvemos \[\begin{cases} x - y = 0,\\\ x + y = 0. \end{cases}
Da primeira equação temos x=y\]. Substituindo na segunda fica \(x+x=0, ou seja 2x=0, logo x=0 e y=0.
Portanto
\Ker(T)=\{(0,0)\}.

Passo 3

Os vetores-coluna de T são
v_1 = T(1,0) = (1,1), \quad v_2 = T(0,1) = (-1,1).
Logo
\Im(T)=\Span\{v_1,v_2\}.
Para ver que \{v_1,v_2\} é independente, suponha \lambda v_1+\mu v_2=(0,0), isto é
(\lambda-\mu,\;\lambda+\mu)=(0,0)
que implica \lambda=\mu=0. São dois vetores independentes em \mathbb{R}^2, então geram todo \mathbb{R}^2.
Portanto
\Im(T)=\mathbb{R}^2.

Passo 4

Como \Ker(T)=\{0\}, T é injetora. Como \Im(T)=\mathbb{R}^2 (o contradomínio), T é sobrejetora. Logo T é bijetora.

Resposta

\Ker(T)=\{(0,0)\} \Im(T)=\mathbb{R}^2 T é bijetora (injetora e sobrejetora).

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