Questão 1 Considere o espaço vetorial \mathbb{R}^{3}. Calcule a dimensão de S^{\perp} quando S é dado por:
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x=y\right. e \left.y=-z\right\};

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de S^{\perp} em \mathbb{R}^3, sabendo que
S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=y \text{ e } y=-z\}.
O conteúdo aqui é subespaços vetoriais em \mathbb{R}^3 e a relação \dim(S)+\dim(S^{\perp})=3.

Passo 2

Primeiro encontramos uma parametrização de S. As condições x=y e y=-z permitem escrever
(x,y,z)=(x,x,-x)=x\,(1,1,-1),
onde x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Da parametrização vemos que todo vetor de S é múltiplo escalar de (1,1,-1). Logo
S=\mathrm{span}\{(1,1,-1)\}
é um subespaço de dimensão 1, ou seja,
\dim(S)=1.

Passo 4

Pela propriedade de ortogonalidade em espaços euclidianos de dimensão 3, vale
\dim(S)+\dim(S^{\perp})=3.
Substituindo \dim(S)=1, obtemos
\dim(S^{\perp})=3-1=2.

Resposta

\dim(S^{\perp})=2.

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